Question

Стержень АВ единичной длины разломан в двух наудачу выбранных точках Х и У. С какой вероятностью расстояние между этими точками не превзойдет длины ВУ?

Answer 1

Ответ:

0.75

Пошаговое объяснение:

начертим на плоскости квадрат со стороной 1.

На оси Ох выбираем произвольную точку х, а на оси Оу - точку у.

по условию расстояние между ними ( то есть |x-y| ) должно быть не больше длины BY (так как АВ=1, то BY=1-y) рис.1

Составляем полученное неравенство:

$|x-y|\leq 1-y\\ \\ \left\{\begin{matrix} x-y\leq 1-y \\ x-y\geq y-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 1 \\ 2y\leq x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 1 \\ y\leq 0.5x+0.5 \end{matrix}\right.$

строим прямую y=0.5x+0.5 (рис.2 красным цветом)

так как стоит знак меньше, значит нам нужно область ниже прямой.

Таким образом условию задачи удовлетворяет область AB₂CD -(трапеция).

По геометрическому определению вероятности надо площадь полученной трапеции поделить на площадь квадрата

$S_{AB_2CD}=\frac{a+b}{2}*h=\frac{0.5+1}{2}*1=0.75 \\ \\ S_{AB_1CB_2}=a^2=1^2=1 \\ \\ p= \frac{0.75}{1}=0.75$

Answer 2

Давайте разберемся, как решить эту задачу.

Пусть X - первая выбранная точка на стержне, а Y - вторая выбранная точка на стержне. Заметим, что X и Y могут быть выбраны из любых двух различных точек на стержне АВ. Допустим, что точка X выбирается раньше точки Y.

Так как точки X и Y выбираются наудачу (т.е. равновероятно из любой точки стержня), мы можем рассматривать двумерное пространство (X, Y) с координатами (x, y), где x и y - координаты точек X и Y на стержне.

Длина стержня AB равна 1. Тогда расстояние между X и Y, которое обозначим как D, можно выразить следующим образом:

D = |x - y|

Давайте рассмотрим, когда расстояние D не превзойдет длину ВУ (обозначим её как L):

D ≤ L

|x - y| ≤ L

Теперь разбиваем это неравенство на несколько случаев в зависимости от значения L:

1. Если L ≥ 1, то любые значения x и y удовлетворяют неравенству, потому что разница между ними всегда меньше или равна длине стержня AB. В этом случае вероятность равна 1 (полностью занимают возможное пространство).

2. Если 0 ≤ L < 1, тогда для удовлетворения неравенства, значения x и y должны находиться в интервале (0, L) или (1 - L, 1). Вероятность этого равна длине этого интервала относительно длины стержня AB, т.е. P(0 ≤ L < 1) = 2L.

3. Если L < 0, тогда расстояние D не может быть меньше нуля, поэтому вероятность равна нулю, P(L < 0) = 0.

Таким образом, общая вероятность P, что расстояние между точками X и Y не превзойдет длину ВУ L, составляет:

P = P(0 ≤ L < 1) + P(L ≥ 1) = 2L + 1, при 0 ≤ L < 1 P = 1, при L ≥ 1 P = 0, при L < 0

Убедитесь, что L принадлежит интервалу [0, 1], чтобы получить верную вероятность. Если L выходит за этот интервал, вероятность также будет равна 0 или 1 в зависимости от значения L.