Question

Решить диф.уравнение первого порядка с разделяющими переменными. Помогите пожалуйста. x^3y'+y=0​

Answer 1

$x^3y'+y=0$

$y'=-\dfrac{y}{x^3}$

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{dx}{x^3};~~~~~ \ln|y|=\dfrac{1}{2x^2}+C\\ \\ \boxed{y=Ce^{1/2x^2}}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данное дифференциальное уравнение. Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x^3}$

Давайте разделим переменные, переместив $y$ на одну сторону уравнения, а $dx$ на другую:

$\frac{1}{y} \, dy = -\frac{1}{x^3} \, dx$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по соответствующим переменным:

$\int \frac{1}{y} \, dy = \int -\frac{1}{x^3} \, dx$

Интегрируя, получим:

$\ln|y| = \frac{1}{2x^2} + C$

Где $C$ - произвольная константа интегрирования.

Теперь разрешим уравнение относительно $y$:

$y = e^{\frac{1}{2x^2} + C} = e^C \cdot e^{\frac{1}{2x^2}}$

Поскольку $e^C$ также является произвольной константой, давайте заменим ее на новую константу $K$:

$y = K \cdot e^{\frac{1}{2x^2}}$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения $x^3y' + y = 0$ имеет вид:

$y = K \cdot e^{\frac{1}{2x^2}}$

Где $K$ - произвольная константа.