Question

В треугольнике lnm L=90°, nl=12, ml=16. Найдите радиус вписанной окружности. ​

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

Если в прямоугольном ΔLNM  ∠L=90°, то NL и ML - катеты и MN - гипотенуза.

NL=12, ML=16 (по условию)

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находят по формуле:

R(впис.) = (a+b-c):2, где a,b - катеты и с-гипотенуза.

В нашем случае, формула выглядит так:

R(впис.) = (NL+ML-MN):2

Т.к. квадрат  гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов (это теорема Пифагора), то

MN = √(NL²+ML²)=√(12²+16²)=√(144+256)=√400=20

Теперь, находим радиус вписанной окружности:

R(впис.) = (NL+ML-MN):2 = (12+16-20):2=8:2=4

Answer 2

Чтобы найти радиус вписанной окружности в треугольнике, мы можем воспользоваться формулой:

$r = \frac{{\text{Площадь треугольника}}}{{\text{Полупериметр треугольника}}}$

Где площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы Герона:

$\text{Площадь} = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}$

где $s$ - полупериметр треугольника, $a, b$ и $c$ - длины сторон треугольника.

В данном случае, у нас есть прямоугольный треугольник $lnm$ с прямым углом при вершине $l$, а стороны $nl$ и $ml$ известны:

$nl = 12$ (сторона прямоугольного треугольника, соответствующая катету), $ml = 16$ (сторона прямоугольного треугольника, соответствующая гипотенузе).

Мы можем найти длину другого катета треугольника $nm$ с помощью теоремы Пифагора:

$nm = \sqrt{{ml^2 - nl^2}} = \sqrt{{16^2 - 12^2}} = \sqrt{{256 - 144}} = \sqrt{{112}} \approx 10.58$

Теперь, чтобы найти полупериметр $s$:

$s = \frac{{nl + ml + nm}}{2} = \frac{{12 + 16 + 10.58}}{2} \approx 19.29$

И, наконец, найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{{\text{Площадь треугольника}}}{{s}}$

$\text{Площадь} = \frac{{nl \cdot nm}}{2} = \frac{{12 \cdot 10.58}}{2} \approx 63.48$

$r = \frac{{63.48}}{{19.29}} \approx 3.29$

Ответ: радиус вписанной окружности в треугольнике $lnm$ примерно равен 3.29.