Question

Интегралы. Обчислить объемы тел которые образованы вращением фигур ограниченых графиками функцый - y=x^8 ; y^2-x=0

Answer 1

Ответ:

=======================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, мы можем использовать метод цилиндров или метод дисков. В данном случае, для каждой функции, мы рассмотрим график и найдем интеграл, который представляет объем соответствующей фигуры.

Дано:

1. Функция: y = x^8
2. Функция: y^2 - x = 0

Сначала определим точки пересечения этих двух графиков. Приравняем функции друг к другу и решим уравнение:

x^8 = y^2 x^8 - y^2 = 0

Теперь рассмотрим каждую функцию отдельно и вычислим объем тела, образованного вращением соответствующей фигуры.

1. Функция: y = x^8 Для этой функции, график ограничен ветвями вокруг оси x. Объем можно вычислить с использованием метода цилиндров. Рассмотрим тонкий цилиндр с радиусом r и высотой dx на расстоянии x от оси вращения. Объем такого цилиндра будет равен π * r^2 * dx. Затем проинтегрируем этот объем по всем значениям x в пределах от нуля до точки пересечения с другой функцией.

Объем = ∫[0, a] π * x^16 * dx = π * ∫[0, a] x^16 dx = π * [x^17 / 17] [0, a] = π * (a^17 / 17)

2. Функция: y^2 - x = 0 Для этой функции, график ограничен ветвями вокруг оси y. Объем можно вычислить с использованием метода дисков. Рассмотрим тонкий диск с радиусом r и толщиной dy на расстоянии y от оси вращения. Объем такого диска будет равен π * r^2 * dy. Затем проинтегрируем этот объем по всем значениям y в пределах от нуля до точки пересечения с другой функцией.

Объем = ∫[0, b] π * y * dy = π * [y^2 / 2] [0, b] = π * (b^2 / 2)

Итак, для вычисления общего объема, необходимо найти точки пересечения двух функций (a и b), а затем применить найденные значения в формулах объема каждой функции:

Общий объем = π * (a^17 / 17) - π * (b^2 / 2)