Question

Вычислите наибольшее и наименьшее значение функции y(x)=5sinx-14cosx

Answer 1

Дана функция:

$y(x) = 5 \sin(x) - 14 \cos(x)$

[tex] y(x) = sqrt(5^2+14^2)\sin(x-arctan(14/5)\\

sqrt(221)\sin(x-arctan (2,8)[tex]

Так как sin(x) изменяется от -1 до 1 включительно в независимости от угла, то

[tex] -sqrt(221) ≤ sqrt(221)\sin(x-arctan (2,8) ≤ sqrt(221) [tex]

Поэтому наибольшее значение данной функции √221, а наименьшее – -√221

Answer 2

Для вычисления наибольшего и наименьшего значения функции y(x) = 5sin(x) - 14cos(x), необходимо найти максимальное и минимальное значение амплитуды синусоиды и косинусоиды.

Функция y(x) является комбинацией синуса и косинуса, и обе эти функции имеют амплитуду 1 и период 2π. Поскольку у нас коэффициенты 5 и -14 перед ними, амплитуда y(x) будет равна |5| + |-14| = 5 + 14 = 19.

Теперь давайте рассмотрим фазовые сдвиги (сдвиги по горизонтали) для синусоиды и косинусоиды. Функция sin(x) имеет фазовый сдвиг 0, а функция cos(x) имеет фазовый сдвиг π/2.

Из-за фазового сдвига π/2 в функции cos(x), сначала нужно найти точку максимального значения косинусоиды (cos(x)), а затем точку минимального значения косинусоиды. Затем, используя фазовый сдвиг 0 в функции sin(x), найдем точки максимального и минимального значения синусоиды (sin(x)).

1. Точка максимального значения cos(x): x = 0 (косинус максимален на своем начальном значении).
2. Точка минимального значения cos(x): x = π (косинус минимален в точке, удаленной на полпериода от начальной точки).

Теперь найдем значения y(x) в этих точках:

1. y(0) = 5sin(0) - 14cos(0) = 0 - (-14) = 14.
2. y(π) = 5sin(π) - 14cos(π) = 0 - (-14) = 14.

Затем, для синусоиды:

1. Точка максимального значения sin(x): x = π/2 (синус максимален на своем начальном значении).
2. Точка минимального значения sin(x): x = 3π/2 (синус минимален в точке, удаленной на полпериода от начальной точки).

Теперь найдем значения y(x) в этих точках:

1. y(π/2) = 5sin(π/2) - 14cos(π/2) = 5 - 0 = 5.
2. y(3π/2) = 5sin(3π/2) - 14cos(3π/2) = -5 - 0 = -5.

Таким образом, наибольшее значение функции y(x) равно 14, а наименьшее значение функции y(x) равно -5.