Question

1. около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность сторона треугольника равна 3 см найдите площадь кольца и длину большей окружности 2. Хорда окружности равна 4см и стягивает дугу в 90 градусов. Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

Answer 1

Ответ:1) 9π/4 см²;  2π√3 см.    2)2π√3 см;  2π см².

Пошаговое объяснение:

1) а=2r√3  ⇒r=а : 2√3; r=3:2√3=√3 :2 (см); S₁кр.=πr²=π*(√3)²:4=3π/4 (см²).

  а=R√3 ⇒ R=а:√3=3:√3=√3 (см); S₂ кр.=πr²=π*(√3)²=3π (см²).

 S кольца=S₂ кр.-S₁кр.=3π-3π/4=12π/4-3π/4=9π/4 (см²).

 С=2πR=2π√3 (см).

2) Хорда АВ=4 см, ∪АВ=90°.

ΔАОВ: ∠АОВ=90° по свойству центрального угла.

АО=ОВ как радиусы одной окружности.

Пусть АО=х см, тогда по теореме Пифагора:

х²+х²=4²;  2х²=16;  х²=8;   х>0 ⇒х=√8;  х=2√2.

R=2√2;   L дуги АВ= πR:180° *90°=π*2√2:2=√2π (см).

S сектора= πR²:360°*90°=πR²:4=π(2√2)²:4=π*4*2:4=2π (см²).

Answer 2

1. Площадь кольца: Пусть R - радиус описанной окружности (большей окружности), r - радиус вписанной окружности (меньшей окружности), и a - сторона равностороннего треугольника.

Для правильного треугольника, радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности связаны соотношением: R = 2r.

Известно, что сторона треугольника a = 3 см. Для равностороннего треугольника, радиус описанной окружности R связан с длиной стороны a следующим образом: R = a / (√3).

Таким образом, радиус описанной окружности R = 3 / (√3) = 3√3 / 3 = √3 см.

Также, радиус вписанной окружности r = R / 2 = (√3) / 2 см.

Площадь кольца можно найти вычитая площадь вписанной окружности из площади описанной окружности:

Площадь кольца = πR^2 - πr^2 = π(√3)^2 - π( (√3/2)^2 ) = 3π - π(3/4) = 3π - (3π/4) = (12π - 3π) / 4 = 9π / 4 ≈ 7.07 см²

2. Длина дуги и площадь сектора: Длина дуги дуги, которую стягивает хорда, равна длине хорды.

Длина дуги = 4 см.

Площадь сектора окружности с центральным углом 90 градусов можно найти, используя следующую формулу:

Площадь сектора = (центральный угол / 360°) * π * r^2

где r - радиус окружности.

Для данной задачи, у нас центральный угол равен 90 градусов, и радиус r = 4 см.

Площадь сектора = (90° / 360°) * π * 4^2 = (1/4) * π * 16 = 4π см² ≈ 12.57 см²

Таким образом, длина дуги равна 4 см, а площадь соответствующего сектора окружности составляет примерно 12.57 см².