Question

Помогите решить задачи!! Даны точки А(2;-1), С (3;2) и D (-3;1). Найдите: 1) координаты векторов АС и АD 2) модули векторы АС и AD 3) Координаты векторов EF= 3*AC - 2*AD 4)Скалярное произведение векторов АС и AD 5) Косинус угла между векторами АС и АD

Answer 1

Теория:

Координаты вектора

Пусть даны точки X(x₁, x₂), Y(y₁, y₂), тогда

$\overrightarrow{XY}=(y_1-x_1;y_2-x_2)$

Длина вектора

Пусть дан вектор a{a₁, a₂}, тогда

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{ a_1^2+a_2^2}$

Скалярное произведение (по координатам)

Пусть даны векторы a{a₁, a₂} и b{b₁, b₂}, тогда

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$

Угол между векторами

Пусть даны векторы a и b и ∠(a, b) = α, тогда

$cos\alpha =\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}$

Умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов проводится покоординатно.

Решение:

$1)\\ \overrightarrow{AC}=(3-2;2-(-1))=(1;2+1)=(1;3)\\ \overrightarrow{AD}=(-3-2;1-(-1))=(-5;1+1)=(-5;2)\\ \\ 2)\\ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{ 1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\\ |\overrightarrow{AD}|=\sqrt{ (-5)^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ \\ 3)\\ 3\overrightarrow{AC}=(3\cdot1;3\cdot3)=(3;9)\\ 2\overrightarrow{AD}=(2\cdot(-5);2\cdot2)=(-10;4)\\ \overrightarrow{EF}=3\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD}=(3-(-10);9-4)=(13;5)$

$4)\quad \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=1\cdot(-5)+3\cdot2=-5+6=1\\ \\ 5)\quad cos\angle(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{AD}|}=\frac{1}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{29}}=\frac{1}{\sqrt{290}} =\frac{\sqrt{290}}{290}$

Answer 2

Давайте по порядку решим задачи:

1. Координаты векторов AC и AD: Вектор AC = C - A = (3 - 2, 2 - (-1)) = (1, 3) Вектор AD = D - A = (-3 - 2, 1 - (-1)) = (-5, 2)

2. Модули векторов AC и AD: Модуль вектора AC = |AC| = √(1^2 + 3^2) = √10 ≈ 3.162 Модуль вектора AD = |AD| = √((-5)^2 + 2^2) = √29 ≈ 5.385

3. Координаты вектора EF = 3AC - 2AD: EF = 3 * (1, 3) - 2 * (-5, 2) = (3, 9) - (-10, 4) = (3 + 10, 9 - 4) = (13, 5)

4. Скалярное произведение векторов AC и AD: Скалярное произведение векторов AC и AD вычисляется как сумма произведений соответствующих координат векторов. AC · AD = 1 * (-5) + 3 * 2 = -5 + 6 = 1

5. Косинус угла между векторами AC и AD: Косинус угла между векторами вычисляется с помощью скалярного произведения и модулей векторов по формуле: cos(θ) = (AC · AD) / (|AC| * |AD|) cos(θ) = 1 / (√10 * √29) ≈ 0.104

Угол θ можно найти, взяв обратный косинус (арккосинус) от полученного значения: θ ≈ arccos(0.104) ≈ 84.41°

Таким образом, ответы на задачи:

1. Координаты векторов AC и AD: AC = (1, 3), AD = (-5, 2)
2. Модули векторов AC и AD: |AC| ≈ 3.162, |AD| ≈ 5.385
3. Координаты вектора EF: EF = (13, 5)
4. Скалярное произведение векторов AC и AD: AC · AD = 1
5. Косинус угла между векторами AC и AD: cos(θ) ≈ 0.104, угол θ ≈ 84.41°