Question

Дан бином. Найдите n, если сумма всех биномиальных коэффициентов равна 256 (x-2)^n

Answer 1

2ⁿ = 256 = 2⁸,________________________

n = 8

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся биномом Ньютона, который гласит:

(x - a)^n = Σ[C(n, k) * x^(n - k) * a^k], где Σ - сумма от k = 0 до n, C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n - k)!).

В нашем случае у нас дано:

(x - 2)^n = Σ[C(n, k) * x^(n - k) * 2^k], где Σ - сумма от k = 0 до n.

Условие задачи гласит, что сумма всех биномиальных коэффициентов равна 256:

Σ[C(n, k)] = 256.

Для нахождения n давайте рассмотрим, какие значения n и k дают ненулевые биномиальные коэффициенты.

Биномиальный коэффициент C(n, k) не равен нулю только тогда, когда 0 ≤ k ≤ n.

Таким образом, нам нужно найти такое n, чтобы количество ненулевых биномиальных коэффициентов C(n, k) при 0 ≤ k ≤ n равнялось 256.

Известно, что общее количество биномиальных коэффициентов C(n, k) при 0 ≤ k ≤ n равно 2^n (так как каждый биномиальный коэффициент соответствует биному (x-2)^n).

Таким образом, нам нужно найти такое n, при котором 2^n = 256.

2^8 = 256.

Значит, n = 8.

Проверим:

(x - 2)^8 = Σ[C(8, k) * x^(8 - k) * 2^k] (где Σ - сумма от k = 0 до 8).

Σ[C(8, k)] = C(8, 0) + C(8, 1) + C(8, 2) + C(8, 3) + C(8, 4) + C(8, 5) + C(8, 6) + C(8, 7) + C(8, 8)

С помощью биномиальных коэффициентов найденных для n=8:

C(8, 0) = 1 C(8, 1) = 8 C(8, 2) = 28 C(8, 3) = 56 C(8, 4) = 70 C(8, 5) = 56 C(8, 6) = 28 C(8, 7) = 8 C(8, 8) = 1

Σ[C(8, k)] = 1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256.

Таким образом, n=8 удовлетворяет условию задачи.