Question

В полярной системе координат вычислить площадь фигуры,заданной уравнением в декартовых координатах x^4=6(3x^2-y^2)

Answer 1

$x^4=6\, (3x^2-y^2)\\\\x=r\cdot cos\phi \; ,\; \; y=r\cdot sin\phi \\\\r^4\cdot cos^4\phi =6\, (3r^2\, cos^2\phi -r^2sin^2\phi )\\\\r^4=\frac{6r^2\, (3cos^2\phi -(1-cos^2\phi ))}{cos^4\phi }\; \; ,\; \; r^2=\frac{6\, (3cos^2\phi -1+cos^2\phi )}{cos^4\phi }\; \; ,\; \; r^2=\frac{24cos^2\phi -6}{cos^4\phi }\; ,\\\\r^2=\frac{24}{cos^2\phi }-\frac{6}{cos^4\phi }\\\\asimptotu:\; y=\pm \sqrt3x\; ;\; \; \; r=0\; ,esli\; \; \phi =\frac{\pi}{3}$

$S=2\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3}(\frac{24}{cos^2\phi }-\frac{6}{cos^2\phi \cdot cos^2\phi })\, d\phi =2\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3}\, (\frac{24}{cos^2\phi }-6\cdot (1+tg^2\phi )\cdot \frac{1}{cos^2\phi })\, d\phi =\\\\=2\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3}\, (\frac{18}{cos^2\phi }-\frac{6tg^2\phi }{cos^2\phi })\, d\phi =2\, (18\, tg\phi -2\, tg^3\phi )\Big|_{-\pi /3}^{\pi /3}=\\\\=2(18\cdot \sqrt3-2\cdot 3\sqrt3)-2(-18\, \sqrt3+2\cdot 3\sqrt3)=24\sqrt3$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, заданной уравнением в декартовых координатах, необходимо сначала перейти к полярной системе координат. Затем используем формулу для вычисления площади площади в полярных координатах.

В полярной системе координат уравнение будет иметь вид:

$r^4 = 6(3r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta)$

Теперь рассмотрим область, которую охватывает данное уравнение в полярной системе координат. Для этого найдем значения $\theta$, при которых $r$ будет равно нулю:

$r^4 = 0 \Rightarrow r = 0$

Таким образом, фигура ограничена внутри окружности с радиусом $r = 0$ (точка) и должна быть ограничена каким-то другим значением $r$, которое будем обозначать $r_{max}$.

Для нахождения $r_{max}$ приравняем дискриминант уравнения к нулю, чтобы найти критические точки:

$3r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta = 0$

$r^2(3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$

$r^2 = 0 \text{ или } 3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 0$

$r = 0 \text{ или } r = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta}}$

Таким образом, для каждого значения $\theta$ у нас могут быть два значения $r$: $r = 0$ и $r = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta}}$.

Однако, чтобы фигура была ограничена, значения $r$ должны быть положительными. Таким образом, фигура ограничена внутри кривой $\theta$ и должна быть ограничена некоторым максимальным значением $r$. Чтобы определить это максимальное значение, приравняем $r$ к нулю:

$r = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta}} = 0$

$\sin^2 \theta = 0$

$\theta = 0 \text{ или } \theta = \pi$

Таким образом, фигура ограничена внутри интервала $[0, \pi]$. Теперь мы можем записать выражение для площади в полярных координатах:

$S = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} r^2 d\theta$

$S = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta}}\right)^2 d\theta$

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 \theta}{3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta} d\theta$

Вычислить данный интеграл аналитически достаточно сложно. Он может быть решен методами математического анализа или численными методами. Если необходимо получить численное значение площади, можно воспользоваться численным интегрированием, например, методом трапеций или методом Симпсона.