Question

Найти n. Если 25+27+29+.....(2n-1)=1456 подробное решение пожалуйста

Answer 1

Ответ:

20

Пошаговое объяснение:

Известно, что сумма первых n нечетных натуральных чисел равна $n^2$ (это можно получить, например, из формулы для суммы арифметической прогрессии. Тогда

$25+27+29+\cdots+(2n-1)=(1+3+5+\cdots+(2n-1))-\\-(1+3+5+\cdots+23)=n^2-12^2$

Приравниваем:

$n^2-12^2=1456\\n^2-144=1456\\n^2=1600\\\boxed{n=40}$

Вот альтернативный способ получить выражение для суммы из условия: это арифметическая прогрессия с разностью 2, в которой $(2n-1-25)/2+1=n-12$ членов. Сумма равна полусумме крайних членов, умноженной на количество:

$\dfrac{25+(2n-1)}2\cdot(n-12)=(n+12)(n-12)=n^2-12^2$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и постараемся найти значение переменной n.

У нас есть сумма арифметической прогрессии, где первый член (a) равен 25, разность (d) между членами равна 27 - 25 = 2, и мы знаем, что сумма всех членов (S) равна 1456.

Сумма арифметической прогрессии выражается формулой: S = (n/2) * (2a + (n - 1)d),

где n - количество членов прогрессии.

Подставляем известные значения: 1456 = (n/2) * (2 * 25 + (n - 1) * 2).

Раскроем скобки: 1456 = n * (50 + 2n - 2).

Упростим уравнение: 1456 = 50n + 2n^2 - 2n.

Теперь у нас есть квадратное уравнение: 2n^2 + 48n - 1456 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться квадратным дискриминантом или попробовать разложить его на множители. Поскольку нам нужно найти целочисленное значение n, давайте попробуем разложить на множители.

2n^2 + 48n - 1456 = 2(n^2 + 24n - 728).

Теперь попробуем разложить n^2 + 24n - 728 на множители. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 24, а произведение -728. Эти числа 34 и -10.

Таким образом, n^2 + 24n - 728 = (n + 34)(n - 10).

Исходное уравнение становится: 2(n + 34)(n - 10) = 0.

Отсюда получаем два возможных значения n:

1. n + 34 = 0 => n = -34 (не подходит, так как нам нужно целочисленное положительное значение n).
2. n - 10 = 0 => n = 10.

Итак, подходящее значение n, при котором выполнено уравнение, равно 10.