Question

Даю 50 балов Даны квадратные трёхчлены f1(x) = х2 + 2a1x + b1,f2(x) = х2 + 2a2x + b2,f3(x) = х2 + 2a3x + b3Известно, что а1а2а3 = b1b2b3 > 1Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Квадратное уравнение имеет два корня тогда, когда его дискриминант больше нуля.

Найдем дискриминанты для каждого трёхчлена:

1) 4a^2 - 4b>0

2) 4a'^(2)-4b'>0

3) 4a''^(2)-4b''>0

Если произведение нечётного числа чисел больше нуля, то хотя бы один из них положительный, либо все три положительные.

Т.к. произведения равны, можем сказать, что её члены равны, но не известно в какой последовательности.

Допустим, что  b<b'<b'', если наоборот, то всё равно будет также, но будет другой трёхчлен

Для начала предположим, что a=b, a'=b', a''=b'', тогда так как коэффициенты перед ними одинаковы, а а в квадрате, то получаем, что дискриминант каждого больше нуля, т.к. а больше b.

Теперь предположим, что a=b', a'=b, a''=b''

Теперь в первом случае а меньше b, и трёхчлен не будет иметь двух корней, но уже во втором случае a' больше b, тогда будет два корня, данное утверждение справедливо для всех перестановок

Answer 2

Для того чтобы доказать, что хотя бы один из трехчленов имеет два корня, мы можем воспользоваться доказательством от противного.

Предположим, что все три трехчлена f1(x), f2(x) и f3(x) имеют по одному корню (то есть у каждого из них есть только один корень). Пусть эти корни обозначаются как x1, x2 и x3 соответственно.

Так как f1(x) = х2 + 2a1x + b1 имеет только один корень x1, то дискриминант этого уравнения равен нулю: D1 = 2a1^2 - 4b1 = 0 Отсюда получаем: 2a1^2 = 4b1 a1^2 = 2b1 .......(1)

Аналогично для f2(x) и f3(x) получаем: a2^2 = 2b2 .......(2) a3^2 = 2b3 .......(3)

Теперь умножим все три равенства между собой: a1^2 * a2^2 * a3^2 = 2b1 * 2b2 * 2b3 a1^2 * a2^2 * a3^2 = 8b1 * b2 * b3

Но нам также известно, что a1 * a2 * a3 = b1 * b2 * b3, так как a1 * a2 * a3 = (a1 * a2) * a3 = (b1 * b2) * b3 (по условию задачи).

Таким образом, у нас имеется: a1^2 * a2^2 * a3^2 = 8b1 * b2 * b3 a1 * a2 * a3 = b1 * b2 * b3

Теперь сравним полученные равенства. Если возвести в квадрат последнее равенство (a1 * a2 * a3 = b1 * b2 * b3), мы получим:

(a1 * a2 * a3)^2 = (b1 * b2 * b3)^2 a1^2 * a2^2 * a3^2 = b1^2 * b2^2 * b3^2

Из этого следует, что:

8b1 * b2 * b3 = b1^2 * b2^2 * b3^2

Так как по условию b1 * b2 * b3 > 1, то:

8b1 * b2 * b3 > b1^2 * b2^2 * b3^2

Однако, у нас уже имеется равенство:

a1^2 * a2^2 * a3^2 = 8b1 * b2 * b3

Из полученного неравенства и равенства видно, что a1^2 * a2^2 * a3^2 больше, чем 8b1 * b2 * b3, что противоречит нашему предположению о том, что все три трехчлена имеют по одному корню.

Таким образом, наше предположение неверно, и хотя бы один из трехчленов f1(x), f2(x) и f3(x) должен иметь два корня.