Question

Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у=х2+3х у точці з абсцисою х=3.

Answer 1

у=х²+3х;  х₀=3.

y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀) - уравнение касательной, проходящей через точку с абсциссой х₀

х²+3х

f'=2x+3; f'(x₀)=f'(3₀)=2*3+3=9; f(x₀)=f(3)=3²+3*3=18;

y=18+9(x-3)

у=9х-9

Answer 2

Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції у = х^2 + 3х у точці з абсцисою х = 3, ми використовуємо похідну функції в даній точці та спільну точку дотичної із вихідною функцією.

1. Знайдемо похідну функції у = х^2 + 3х: y = x^2 + 3x y' = 2x + 3

2. Обчислимо значення похідної у точці х = 3: y'(3) = 2 * 3 + 3 = 6 + 3 = 9

3. Відомо, що точка дотику має координати (3, f(3)), де f(3) - значення функції у = х^2 + 3х в точці х = 3: f(3) = 3^2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18

Отже, маємо точку дотику (3, 18) і нахил дотичної у цій точці рівний 9. Використовуючи загальний вигляд рівняння прямої y - y1 = m(x - x1), де (x1, y1) - точка на прямій, а m - нахил прямої, можемо записати рівняння дотичної:

y - 18 = 9(x - 3)

Розгортаємо:

y - 18 = 9x - 27

Піднімемо обидві частини на 1:

y = 9x - 27 + 18

y = 9x - 9

Отже, рівняння дотичної до графіка функції у = х^2 + 3х у точці х = 3 є y = 9x - 9.