Question

Найдите экстримум f(x)=1/3 x^3-x^4+5

Answer 1

f(x)=1/3 x^3-x^4+5

$f'(x)= x^2-4x^3$

найдём стационарные точки:

х²-4х³ = 0

х²*(4х-1) = 0

$x_0 = 0\\x_0 = \frac{1}{4}$

Достаточное условие наличия экстремума в точке - производная меняет знак при переходе. Найдём значения производной на интервалах (возьмём значения: 1(0<0.25<1) , 1/5(0<1/5<1/4) и -1 (-1<0<1/4)

f'(1) = 1² - 4*(1³) = -3

f'( 1/5) = 0,2² - 4*(0,2³) = 0,04 - 4*(0,008) = 0,008 (Знак поменялся, точка 0,25 - точка минимума)

f'(-1) = (-1)²-4*(-1)³ = 1-4*(-1) = 1 + 4 = 5 знак остался прежним, поэтому точка экстремума Одна

Ответ: х = 0,25 - точка экстремума

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^4 + 5$ сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3}x^3 - x^4 + 5\right)$

$f'(x) = x^2 - 4x$

Теперь найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:

$x^2 - 4x = 0$

Факторизуем левую часть:

$x(x - 4) = 0$

Таким образом, $x = 0$ или $x = 4$.

Теперь определим типы экстремумов. Для этого проанализируем знаки производной $f'(x)$ в окрестностях точек $x = 0$ и $x = 4$:

1. Когда $x < 0$, $x^2 - 4x > 0$, так как $x^2 > 0$ и $-4x > 0$. Таким образом, $f'(x) > 0$, что означает, что функция $f(x)$ возрастает при $x < 0$.
2. Когда $0 < x < 4$, $x^2 - 4x < 0$, так как $x^2 > 0$ и $-4x < 0$. Таким образом, $f'(x) < 0$, что означает, что функция $f(x)$ убывает при $0 < x < 4$.
3. Когда $x > 4$, $x^2 - 4x > 0$, так как $x^2 > 0$ и $-4x < 0$. Таким образом, $f'(x) > 0$, что означает, что функция $f(x)$ возрастает при $x > 4$.

Следовательно, у нашей функции есть локальный максимум в точке $x = 0$ и локальный минимум в точке $x = 4$. Для определения глобального экстремума нужно провести анализ функции на бесконечности, но в данном случае $f(x)$ стремится к бесконечности при $x \to -\infty$ и к $+\infty$ при $x \to +\infty$, поэтому у нее нет глобальных экстремумов.