Question

Прошу помогите с примером. Разложить по формуле Бинома Ньютона, коэффициент разложите с помощью треугольника Паскаля. (х+2)^5

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Конечно, разложим выражение (х + 2)^5 по формуле Бинома Ньютона, используя треугольник Паскаля для нахождения коэффициентов. Формула Бинома Ньютона для разложения выглядит следующим образом:

(а + b)^n = Σ (от k=0 до n) [C(n, k) * (a^(n-k)) * (b^k)]

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из n элементов по k:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

Треугольник Паскаля для n-го ряда содержит биномиальные коэффициенты C(n, k) для k = 0, 1, ..., n.

Давайте разложим (х + 2)^5:

n = 5 a = х b = 2

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты C(5, k) для k = 0, 1, ..., 5:

C(5, 0) = 5! / (0! * (5 - 0)!) = 1 C(5, 1) = 5! / (1! * (5 - 1)!) = 5 C(5, 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 10 C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 10 C(5, 4) = 5! / (4! * (5 - 4)!) = 5 C(5, 5) = 5! / (5! * (5 - 5)!) = 1

Теперь разложим (х + 2)^5:

(х + 2)^5 = C(5, 0) * (х^(5-0)) * (2^0) + C(5, 1) * (х^(5-1)) * (2^1) + C(5, 2) * (х^(5-2)) * (2^2) + C(5, 3) * (х^(5-3)) * (2^3) + C(5, 4) * (х^(5-4)) * (2^4) + C(5, 5) * (х^(5-5)) * (2^5)

Теперь просто вычислим степени и перемножим с соответствующими коэффициентами:

(х + 2)^5 = 1 * х^5 * 1 + 5 * х^4 * 2 + 10 * х^3 * 4 + 10 * х^2 * 8 + 5 * х * 16 + 1 * 32

Итак, разложение выражения (х + 2)^5 по формуле Бинома Ньютона:

(х + 2)^5 = х^5 + 10х^4 + 40х^3 + 80х^2 + 80х + 32