Question

Найдите производную функции: у=sin^2 5x y'(x)=?

Answer 1

Дана функция:

$y = \sin^{2} (5x)$

Найдём производную:

$y' = ( \sin^{2} (5x) )' = (5x)' \times (sin ^{2} (u))' = \\ = 5 \times 2 \sin(u) \cos(u) = 5 \sin(2u) = 5 \sin(10x)$

Answer 2

Давайте найдем производную функции y = sin^2(5x) по переменной x с помощью правила цепной дифференциации (правила производной сложной функции).

Исходная функция: y = sin^2(5x)

Для применения правила цепной дифференциации, мы сначала найдем производную sin^2(5x) по переменной 5x, а затем умножим эту производную на производную 5x по переменной x.

1. Найдем производную sin^2(5x) по переменной 5x: Пусть u = sin(5x), тогда y = u^2.

   Производная u = sin(5x) по 5x: u' = 5 * cos(5x).

   Производная y = u^2 по u: y' = 2u.

   Теперь умножим производную y = u^2 по u на производную u = sin(5x) по 5x: y'(u) * u'(5x) = 2u * 5 * cos(5x) = 10u * cos(5x).

2. Найдем производную 5x по переменной x: (5x)' = 5.

Теперь, умножив полученное значение 10u * cos(5x) на производную 5x по переменной x, получим производную функции y = sin^2(5x) по переменной x:

y'(x) = 10 * sin(5x) * cos(5x) * 5 = 50 * sin(5x) * cos(5x).

Итак, производная функции y = sin^2(5x) по переменной x равна 50 * sin(5x) * cos(5x).