Question

Докажите, что функция y=1/3x^3-1/2x^2+x-5 является возрастающей

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y'=1/3*3x^2-1/2*2x+1=x^2-2x+1=(x-1)^2,   y'>0 , значит функция возрастает

Answer 2

Для доказательства того, что функция $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5$ является возрастающей, нужно показать, что ее производная положительна для всех значений аргумента $x$. Если производная функции положительна, это означает, что функция имеет положительный наклон (т.е., растет) на всем своем области определения.

1. Вычислим производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5\right)$

2. Производная функции $y$ равна: $y' = x^2 - x + 1$

3. Чтобы определить знак производной $y'$, нужно найти корни уравнения $y' = 0$: $x^2 - x + 1 = 0$

4. Для нахождения корней, воспользуемся квадратным уравнением: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае, $a = 1$, $b = -1$ и $c = 1$.

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}$

Так как дискриминант отрицателен ($\sqrt{-3}$), уравнение $y' = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что производная $y'$ никогда не обращается в ноль, и поэтому не меняет свой знак.

5. Теперь выясним, какой знак у производной $y'$ для всех значений $x$. Заметим, что коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), что означает, что график функции $y$ ветвится вверх. Также, учитывая, что дискриминант отрицателен, ветви функции никогда не пересекают ось $x$ (поскольку нет действительных корней).

Таким образом, производная $y'$ всегда положительна для всех значений $x$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5$ является возрастающей на всем своем области определения.