Question

1)Докажите 2 прямоугольных треугольника имеют равные гипотенузы то sin острых углов пропорциональны противолежащим катетам, а косинусы этих углов пропорциональны прилежащим катетам 2) вычислите sin альфа и cos альфа, если tg альфа = 3/4

Answer 1

1)sinA=a/c

sinA1=a1/c

sinA/sinA=(a/c)/(a1/c)=(a/c)*(c/a1)=a/a1

sinA/sinA1=a/a1

Answer 2

1. Докажем утверждение, что если у двух прямоугольных треугольников равны гипотенузы, то синусы острых углов пропорциональны противолежащим катетам, а косинусы этих углов пропорциональны прилежащим катетам.

Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где AB = DE и BC = EF - равные гипотенузы.

Предположим, угол BAC (альфа) и угол EDF (бета) являются острыми углами. Тогда, у нас есть:

Синусы острых углов: sin(альфа) = AC / AB, sin(бета) = DF / DE.

Косинусы острых углов: cos(альфа) = BC / AB, cos(бета) = EF / DE.

Так как AB = DE и BC = EF, можем записать:

sin(альфа) = AC / DE, sin(бета) = DF / DE, cos(альфа) = BC / DE, cos(бета) = EF / DE.

Теперь, так как у нас равны гипотенузы AB и DE, мы можем записать:

AC = DF (так как они являются равными гипотенузами).

Теперь, если поделим уравнения для синусов на уравнения для косинусов, получим:

sin(альфа) / cos(альфа) = (AC / DE) / (BC / DE), sin(бета) / cos(бета) = (DF / DE) / (EF / DE).

Здесь можно заметить, что DE в числителе и знаменателе сократится:

sin(альфа) / cos(альфа) = AC / BC, sin(бета) / cos(бета) = DF / EF.

Таким образом, мы видим, что отношения синусов к косинусам углов в двух прямоугольных треугольниках равны, что и требовалось доказать.

2. Если tg(альфа) = 3/4, то мы можем использовать тригонометрическое тождество:

tg(альфа) = sin(альфа) / cos(альфа).

Подставим значение tg(альфа) = 3/4:

3/4 = sin(альфа) / cos(альфа).

Теперь найдем косинус альфа:

cos(альфа) = sin(альфа) / (3/4).

Чтобы вычислить sin(альфа), воспользуемся тождеством:

sin^2(альфа) + cos^2(альфа) = 1.

Теперь подставим найденное значение для cos(альфа):

sin^2(альфа) + (sin(альфа) / (3/4))^2 = 1.

Упростим выражение:

sin^2(альфа) + (4/3)^2 * sin^2(альфа) = 1, sin^2(альфа) + 16/9 * sin^2(альфа) = 1, (1 + 16/9) * sin^2(альфа) = 1, (25/9) * sin^2(альфа) = 1.

Теперь найдем sin(альфа):

sin^2(альфа) = 9/25, sin(альфа) = ±√(9/25), sin(альфа) = ±3/5.

Так как у нас изначально дано, что угол альфа является острым (т.е. лежит в интервале от 0 до 90 градусов), то sin(альфа) должен быть положительным, и мы выбираем положительное значение:

sin(альфа) = 3/5.

Теперь, чтобы найти cos(альфа), мы можем использовать ранее полученное уравнение:

cos(альфа) = sin(альфа) / (3/4) = (3/5) / (3/4) = 4/5.

Таким образом, sin(альфа) = 3/5 и cos(альфа) = 4/5.