Question

Найдите экстремумы следующей функции f(x)=1/4 x^4-x^2+5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Y штрих равен х^3-2x.

х^3-2х=0, вынеси х за скобку, имеем: х(х^2-2)=0, х1=0, х2 =корень квадратный из 2

х3= минус корень квадратный из 2

эти три точки являются точками экстремума и критическими точками .

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции f(x) = (1/4)x^4 - x^2 + 5, сначала найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем определим тип каждой критической точки (минимум или максимум) с помощью второй производной.

1. Найдем производную f'(x): f'(x) = d/dx [(1/4)x^4 - x^2 + 5] f'(x) = (1/4) * 4x^3 - 2x f'(x) = x^3 - 2x

2. Найдем критические точки, приравняв f'(x) к нулю и решив уравнение: x^3 - 2x = 0

Находим общий множитель: x(x^2 - 2) = 0

Таким образом, получаем три критические точки:

1. x = 0
2. x = √2 (положительный корень уравнения x^2 - 2 = 0)
3. x = -√2 (отрицательный корень уравнения x^2 - 2 = 0)

3. Определим тип каждой критической точки с помощью второй производной. Для этого найдем производную второго порядка f''(x):

f''(x) = d/dx [x^3 - 2x] f''(x) = 3x^2 - 2

Теперь подставим значения критических точек в f''(x):

a) f''(0) = 3 * 0^2 - 2 = -2 (отрицательное значение, значит, x = 0 - это локальный максимум).

b) f''(√2) = 3 * (√2)^2 - 2 = 3 * 2 - 2 = 4 (положительное значение, значит, x = √2 - это локальный минимум).

c) f''(-√2) = 3 * (-√2)^2 - 2 = 3 * 2 - 2 = 4 (положительное значение, значит, x = -√2 - это локальный минимум).

Таким образом, функция f(x) = (1/4)x^4 - x^2 + 5 имеет два локальных минимума (x = √2 и x = -√2) и один локальный максимум (x = 0).