Question

Саша и Маша решили копить деньги. В конце каждой недели Саша кладет в Свою копилку 5 евро. Маша положила в свою копилку в конце первой недели1 евро, а в конце каждой последующей недели кладет туда на 0,5 евро больше,чем на предыдущей неделе.1) Сколько денег скопит каждый из них:а) за 26 недель;б) за 52 недели?2) После которой недели у Маши будет больше денег, чем у Саши?​

Answer 1

Ответ и Пошаговое объяснение:

Нужно знать:

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$\tt a_n=a_1+(n-1) \cdot d.$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии определяется по формуле:

$\displaystyle \tt S_n=\frac{2 \cdot a_1+d \cdot (n-1) }{2} \cdot n.$

Решение. 1) В конце каждой недели Саша кладет в свою копилку 5 евро. Тогда в копилке в конце каждой недели накапливается:

1-я неделя: 5 евро

2-я неделя: 5+5=2·5 евро

3-я неделя: 2·5+5=3·5 евро

...

а) 26-я неделя: 26·5=130 евро

б) 52-я неделя: 52·5=260 евро

...

k-я неделя: k·5 евро.

Маша положила в свою копилку в конце первой недели 1 евро, а в конце каждой последующей недели кладет туда на 0,5 евро больше, чем на предыдущей неделе. Тогда деньги, которых положит в копилку Маша образуют арифметическую прогрессию с первым членом a₁=1 евро и разностью d=0,5 евро. Маша положит в копилку:

1-я неделя: a₁=1 евро

2-я неделя: a₂=a₁+0,5=1,5 евро

3-неделя: a₃=a₂+0,5=1,5+0,5=2 евро

...

x-неделя: aₓ=aₓ₋₁+0,5=a₁+(x-1)·0,5 евро.

а) Найдём сумму первых 26 членов арифметической прогрессии:

$\displaystyle \tt S_{26}=\frac{2 \cdot 1+0,5 \cdot (26-1) }{2} \cdot 26=(2+0,5 \cdot 25) \cdot 13=14,5 \cdot 13 = 188,5$ евро.

а) Найдём сумму первых 52 членов арифметической прогрессии:

$\displaystyle \tt S_{52}=\frac{2 \cdot 1+0,5 \cdot (52-1) }{2} \cdot 52=(2+0,5 \cdot 51) \cdot 26=27,5 \cdot 26= 715$ евро.

2) Теперь определим, после которой недели у Маши будет больше денег, чем у Саши. Пусть эта неделя m-я. Тогда у Саши денег 5·m,  а у Маши денег: $\displaystyle \tt S_m=\frac{2 \cdot 1+0,5 \cdot (m-1) }{2} \cdot m=\frac{1,5+0,5 \cdot m }{2} \cdot m.$

По условию

$\displaystyle \tt \frac{1,5+0,5 \cdot m }{2} \cdot m > 5 \cdot m.$

Решаем последнее неравенство:

$\displaystyle \tt 1,5+0,5 \cdot m > 10 \\0,5 \cdot m > 10-1,5\\0,5 \cdot m > 8,5\\m > 8,5:0,5\\m > 17.$

Значит, после 18-ой недели у Маши будет больше денег, чем у Саши.

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи будем использовать арифметическую прогрессию, где первый член последовательности - это сумма, которую Маша положила в свою копилку в конце первой недели (1 евро), а разность - увеличение суммы, которую Маша кладет каждую следующую неделю (0,5 евро).

1. Сколько денег скопит каждый из них: а) за 26 недель: Саша кладет в свою копилку 5 евро каждую неделю, поэтому за 26 недель он скопит: 5 * 26 = 130 евро.

Маша кладет в свою копилку суммы арифметической прогрессии с 1 евро в начале и разностью 0,5 евро. Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

Сумма = (количество членов / 2) * (первый член + последний член)

Количество членов арифметической прогрессии для Маши равно 26 (количество недель).

Сумма, которую Маша скопит за 26 недель:

Сумма Маши = (26 / 2) * (1 + (1 + (26 - 1) * 0,5)) = 13 * (1 + (25 * 0,5)) = 13 * (1 + 12,5) = 13 * 13,5 = 175,5 евро

б) за 52 недели: Саша кладет в свою копилку 5 евро каждую неделю, поэтому за 52 недели он скопит: 5 * 52 = 260 евро.

Сумма, которую Маша скопит за 52 недели:

Сумма Маши = (52 / 2) * (1 + (1 + (52 - 1) * 0,5)) = 26 * (1 + (51 * 0,5)) = 26 * (1 + 25,5) = 26 * 26,5 = 689 евро

2. После которой недели у Маши будет больше денег, чем у Саши: Для ответа на этот вопрос найдем значение недели, после которой сумма денег у Маши будет больше, чем у Саши.

Пусть Х - количество недель, после которого сумма денег у Маши превысит сумму денег у Саши.

Сумма Маши после Х недель:

Сумма Маши = (Х / 2) * (1 + (1 + (Х - 1) * 0,5))

Сумма Саши после Х недель:

Сумма Саши = 5 * Х

Теперь приравняем эти две суммы и решим уравнение:

(Х / 2) * (1 + (1 + (Х - 1) * 0,5)) = 5 * Х

Упростим:

(Х / 2) * (2 + (Х - 1) * 0,5) = 5 * Х

(Х / 2) * (2 + 0,5Х - 0,5) = 5 * Х

(Х / 2) * (1,5 + 0,5Х) = 5 * Х

(Х / 2) * 0,5Х = 5 * Х

Теперь можно сократить на Х (предполагая, что Х ≠ 0):

(1 / 2) * 0,5Х = 5

0,5Х = 10

Х = 10 / 0,5

Х = 20

Таким образом, после 20 недель у Маши будет больше денег, чем у Саши.