Question

Нужно исследовать функцию y=x^3-x^2, срочно, пожалуйста

Answer 1

Дана  функция y=x³−x²

Корни функции (точки пересечения с осью абсцисс x) :    x1=0, x2=1

Первая производная :    y′=x(3x−2)

Стационарные точки :    x1=2/3, x2=0

Вторая производная :    y′′=2(3x−1)

Критические точки :    x1=1/3 это точка перегиба графика

Answer 2

Хорошо, давайте исследуем функцию y = x^3 - x^2.

Функция: y = x^3 - x^2

1. Найдем точки пересечения с осями координат:

   • Для оси y (x = 0): y = 0^3 - 0^2 = 0, то есть точка (0, 0).
   • Для оси x (y = 0): 0 = x^3 - x^2. Мы видим, что одно из решений x = 0 (так как x^3 = x^2 для x ≠ 0). Остальные решения можно найти, разделив уравнение на x и решив квадратное уравнение x^2 - 1 = 0. Таким образом, x^2 = 1, и x = ±1. Таким образом, есть еще две точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (1, 0).

2. Найдем производную функции: y' = d/dx (x^3 - x^2) = 3x^2 - 2x.

3. Найдем точки экстремума (минимумы и максимумы): Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение 3x^2 - 2x = 0: 3x^2 - 2x = x(3x - 2) = 0. Таким образом, x = 0 или x = 2/3.

   Теперь найдем значения функции в этих точках: Для x = 0: y = 0^3 - 0^2 = 0. Для x = 2/3: y = (2/3)^3 - (2/3)^2 ≈ 0.0741.

   Получаем две точки экстремума: (0, 0) (минимум) и (2/3, 0.0741) (максимум).

4. Исследуем выпуклость и вогнутость функции: Найдем вторую производную функции: y'' = d^2/dx^2 (x^3 - x^2) = d/dx (3x^2 - 2x) = 6x - 2.

   Теперь подставим найденные точки экстремума во вторую производную:

   • Для x = 0: y''(0) = 6(0) - 2 = -2 (отрицательное значение, функция выпуклая вниз).
   • Для x = 2/3: y''(2/3) = 6(2/3) - 2 = 2 (положительное значение, функция вогнутая вверх).

5. Найдем асимптоты функции: Поскольку функция не содержит деления, вертикальных асимптот нет. Найдем горизонтальные асимптоты, исследуя поведение функции на бесконечности: lim (x → ±∞) (x^3 - x^2) = ±∞. Таким образом, нет горизонтальных асимптот.

6. Нарисуем график функции:

   [Вставка графика функции y = x^3 - x^2]

Итак, исследование функции y = x^3 - x^2 показало, что у нее есть точки пересечения с осями координат (0, 0), (-1, 0) и (1, 0). Есть также точки экстремума (0, 0) (минимум) и (2/3, 0.0741) (максимум). Функция выпуклая вниз на интервале (-∞, 2/3) и вогнутая вверх на интервале (2/3, +∞). Горизонтальных асимптот нет.