Question

Найти экстремумы функции f(x)=3x^3+7x^2+5x+7

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: f'(x)= 3·3x²+7·2x+5=9x²+14x+5

В т.т. экстремума f'(x)=0

9x²+14x+5=0

D=b²-4ac=14²-4·9·5=16

x₁,₂=(-b±√D)÷4a     x₁=(-14-√16)÷(4·9)=-18÷36=-1/2

                               x₂=(-14+√16)÷(4·9)=-10÷36=-5/18

f(x) имеет экстремумы в т.т. с абсциссами x₁ и x₂.

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = 3x^3 + 7x^2 + 5x + 7$, нужно сначала найти производную функции и приравнять ее к нулю. Это поможет найти точки, где производная функции равна нулю и потенциально могут быть экстремумы (минимумы или максимумы).

1. Найдем производную функции $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3) + \frac{d}{dx}(7x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)$ $f'(x) = 9x^2 + 14x + 5$

2. Приравняем $f'(x)$ к нулю и решим уравнение: $9x^2 + 14x + 5 = 0$

3. Решим квадратное уравнение: $(3x + 1)(3x + 5) = 0$

4. Найдем корни уравнения: $x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = -\frac{5}{3}$

Это даёт нам две критические точки, где производная равна нулю.

5. Чтобы определить, являются ли эти точки точками экстремума, нужно исследовать знаки производной в окрестности каждой критической точки.

6. Вычислим значения $f'(x)$ для $x < -\frac{5}{3}$, между $-\frac{5}{3}$ и $-\frac{1}{3}$ и $x > -\frac{1}{3}$.

• При $x < -\frac{5}{3}$: Выбираем, например, $x = -2$: $f'(-2) = 9(-2)^2 + 14(-2) + 5 = 36 - 28 + 5 = 13 > 0$

• При $x > -\frac{1}{3}$: Выбираем, например, $x = 0$: $f'(0) = 9(0)^2 + 14(0) + 5 = 5 > 0$

• При $-\frac{5}{3} < x < -\frac{1}{3}$: Выбираем, например, $x = -1$: $f'(-1) = 9(-1)^2 + 14(-1) + 5 = 9 - 14 + 5 = 0$

7. В окрестности $x = -1$ производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус, что указывает на смену направления и, следовательно, наличие локального максимума.

Таким образом, функция $f(x) = 3x^3 + 7x^2 + 5x + 7$ имеет локальный максимум в точке $x = -1$ и не имеет локального минимума.