Question

Найдите наибольшее значение функции у= (х+5)^2(х-1)+7

Answer 1

Ответ: 7

Пошаговое объяснение: приравняв производную функции к 0, найдем значения x, при которых Функция набирает минимальные или максимальные значения.

1. Найдем производную y', используя формулы производной произведения и производной сложной функции: (uv)'=u'v+uv',  (u(v))'=u'(v)v'

y'=((x+5)²(x-1)+7)'=((x+5)²)'(x-1)+(x+5)²(x-1)'+7'=2(x+5)·(x+5)'·(x-1)+(x+5)²·1+0=2(x+5)(x-1)+(x+5)²=(x+5)(2(x-1)+(x+5))=(x+5)(2x-2+x+5)=

(x+5)(3x+3)

2. Приравняем производную к 0:

y'=0, (x+5)(3x+3)=0

x₁=-5, x₂=-1

3. Найдем значения функции в точках x₁ и x₂:

y(x₁)=y(-5)=(-5+5)²(-5-1)+7=0·(-6)+7=7

y(x₂)=y(-1)=(-1+5)²(-1-1)+7=16·(-2)+7=-25

Наибольшее значение (y=7) функция получает при x=-5.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции у, нужно найти точку экстремума, которая соответствует максимальному значению функции. Функция у является параболой, и ее вершина будет находиться в точке экстремума.

Для нахождения вершины параболы с формулой у = ах^2 + bх + с, используется следующая формула: х_вершины = -b / (2a).

В нашем случае у = (х + 5)^2(х - 1) + 7, где а = 1, b = 4 (коэффициент при х в квадрате и х в первой степени соответственно), а с = 7 (свободный член).

Теперь найдем х_вершины: х_вершины = -4 / (2*1) = -4/2 = -2.

Теперь, чтобы найти у_вершины (наибольшее значение у), подставим х_вершины в у: у_вершины = (-2 + 5)^2(-2 - 1) + 7 = 3^2 * (-3) + 7 = 9 * (-3) + 7 = -27 + 7 = -20.

Таким образом, наибольшее значение функции у равно -20, и оно достигается при х = -2.