Question

Тема: "Модуль" 114. Прямая проходит через точки A (2; 3) и B (12;-2). Есть ли у этой прямой точка:а) С (-14; 11)б) D (165; –78)?​

Answer 1

Прямая, которая задается уравнением $ax + by = c$, можно переписать в виде функции $y = kx + l$, где $k = -\dfrac{a}{b}, \ l = \dfrac{c}{b}$

Определим формулу линейной функции, которая проходит через две точки: $A(2; \ 3)$ и $B(12; - 2)$

Для этого подставим соответствующие координаты точек в функцию и получим систему из двух линейных уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{3 = 2k + l \ \ \ \ } \atop {-2 = 12k + l}} \right.$

Из первого уравнения $l = 3 - 2k$ подставим во второе уравнение:

$-2 = 12k + 3 - 2k$

$-2 = 10k + 3$

$10 k = -5$

$k = -\dfrac{1}{2}$

Тогда $l = 3 - 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right) = 3 + 1 = 4$

Получили линейную функцию, которая задается формулой $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$

Для проверки того, проходит ли прямая через заданную точку, следует подставить координаты этой точки в функцию и посмотреть результат.

а) Для точки $C(-14; \ 11)$:

$11 = - \dfrac{1}{2} \cdot (-14) +4$

$11 = 7 + 4$ — правда

б) Для точки $D (165; -78)$:

$-78 = -\dfrac{1}{2} \cdot 165 + 4$

$-78 = -82,5 + 4$

$-78 = -78,5$ — неправда

Ответ: а) да; б) нет.

Answer 2

уравнение прямой, проходящей через две точки

(х-х₁)/(х-х₂)=(у-у₁)/(у-у₂)

а) (х-2)/(12-2)=(у-3)/(-2-3)

(х-2)/(10)=(у-3)/(-5); х-2=-2*(у-3);х-2=-2у+6;  2у=6+2-х; у=4-х/2

С(-14;11)

подставим ее координаты в уравнение прямой у=4-х/2

11=4+14/2; 11=11, верно. да. точка С(-14;11) принадлежит прямой у=4-х/2

б)  D (165; –78)

подставим ее координаты в уравнение прямой у=4-х/2

-78=4+165/2; нет. точка D (165; –78) не  принадлежит прямой у=4-х/2, т.к. справа дробное число, а слева целое

Answer 3

Для определения, проходит ли прямая через заданную точку, можно воспользоваться уравнением прямой, которое можно найти, зная координаты двух точек A и B.

Уравнение прямой в общем виде выглядит как y = mx + b, где:

• m - коэффициент наклона прямой (slope),
• b - точка пересечения прямой с осью y (y-intercept).

Шаги для определения, проходит ли прямая через заданную точку:

1. Найдите коэффициент наклона (slope) прямой m: m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B.

2. Найдите точку пересечения с осью y (y-intercept) b: b = y1 - m * x1, где m - коэффициент наклона, а (x1, y1) - координаты точки A.

3. Подставьте координаты заданной точки в уравнение прямой и проверьте, выполняется ли оно.

Для точки С(-14, 11):

1. m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 3) / (12 - 2) = -5 / 10 = -0.5
2. b = y1 - m * x1 = 3 - (-0.5) * 2 = 3 + 1 = 4
3. Подставим координаты C в уравнение прямой: 11 = -0.5 * (-14) + 4 11 = 7 + 4 11 = 11

Таким образом, точка C лежит на данной прямой.

Для точки D(165, -78):

1. m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 3) / (12 - 2) = -5 / 10 = -0.5
2. b = y1 - m * x1 = 3 - (-0.5) * 2 = 3 + 1 = 4
3. Подставим координаты D в уравнение прямой: -78 = -0.5 * 165 + 4 -78 = -82.5 + 4 -78 = -78.5

Таким образом, точка D не лежит на данной прямой.

Итак, ответы: а) Прямая проходит через точку С(-14, 11). б) Прямая не проходит через точку D(165, -78).