Question

1) Х и У – независимые дискретные случайные величины. М(Х) = 5, М(У) = 3, D(Х) = 2, D(У) = 4. Найти М(Z) и D(Z), если Z = 2X – 4Y - 2. 2) Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Х 3 4 7 10 p 0,2 0,1 0,4 0,3 Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение ().

Answer 1

Свойство 1. Если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, то математическое ожидание суммы (разности) случайных событий равно сумме математических ожиданий этих событий

Свойство 2. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой

$MZ=M(2X-4Y-2)=M(2X)-M(4Y)-2=2MX-4MY-2=\\ \\ =2\cdot 5-4\cdot 3-2=-4$

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:

1.  При умножении случайной величины на постоянную  дисперсия увеличивается в два раза.

2. Если $X$ и $Y$ независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

$DZ=D(2X-4Y-2)=4DX+16DY+4=4\cdot 2+16\cdot 4+4=76$

ЗАДАНИЕ 2.

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=3\cdot 0{,}2+4\cdot 0{,}1+7\cdot 0{,}4+10\cdot 0{,}3=6{,}8$

$DX=MX^2-(MX)^2=\displaystyle \sum_ix_i^2p_i-6{,}8^2=3^2\cdot 0{,}2+4^2\cdot 0{,}1+7^2\cdot 0{,}4+\\ \\ +10^2\cdot 0{,}3-46{,}24=6{,}76$

$\sigma X=\sqrt{DX}=2{,}6$

Answer 2

Для решения первой задачи, где даны две независимые случайные величины X и Y, и требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2X - 4Y - 2, воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии.

1. Найдем математическое ожидание М(Z):

М(Z) = 2 * М(X) - 4 * М(Y) - 2

М(X) = 5, М(Y) = 3

М(Z) = 2 * 5 - 4 * 3 - 2 = 10 - 12 - 2 = -4

Теперь найдем дисперсию D(Z):

D(Z) = D(2X - 4Y - 2)

Поскольку X и Y независимые случайные величины, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

D(Z) = D(2X) + D(-4Y) + D(-2)

D(Z) = 2^2 * D(X) + (-4)^2 * D(Y) + 0 (дисперсия константы равна нулю)

D(X) = 2, D(Y) = 4

D(Z) = 2^2 * 2 + (-4)^2 * 4 = 4 * 2 + 16 * 4 = 8 + 64 = 72

Таким образом, М(Z) = -4, D(Z) = 72.

2. Для второй задачи, где дан закон распределения случайной величины X и требуется найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, воспользуемся соответствующими формулами.

Математическое ожидание М(X):

М(X) = Σ(X * p)

где Σ - сумма по всем значениям X, X - значение случайной величины, p - вероятность данного значения.

М(X) = 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.4 + 10 * 0.3 = 0.6 + 0.4 + 2.8 + 3 = 7.8

Дисперсия D(X):

D(X) = Σ((X - М(X))^2 * p)

D(X) = (3 - 7.8)^2 * 0.2 + (4 - 7.8)^2 * 0.1 + (7 - 7.8)^2 * 0.4 + (10 - 7.8)^2 * 0.3

D(X) = (-4.8)^2 * 0.2 + (-3.8)^2 * 0.1 + (-0.8)^2 * 0.4 + (2.2)^2 * 0.3

D(X) = 23.04 * 0.2 + 14.44 * 0.1 + 0.64 * 0.4 + 4.84 * 0.3

D(X) = 4.608 + 1.444 + 0.256 + 1.452 = 7.76

Среднее квадратическое отклонение (σ):

σ = √D(X)

σ = √7.76 ≈ 2.79

Таким образом, М(Х) = 7.8, D(X) = 7.76 и σ ≈ 2.79.