Question

Помогите вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2/x, y=x+1, y=0, x=3.

Answer 1

Вот фотка решения :
Я разделила фигуру на 2 отдельных. Одна им которых прямоугольная трапеция, ну а вторую с помощью интеграла и добавила их

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно разбить эту фигуру на части и вычислить площади каждой части.

Сначала найдем точки пересечения линий:

1. y = 2/x и y = x + 1: Приравняем выражения: 2/x = x + 1. Умножим обе стороны на x: 2 = x^2 + x. Перенесем все влево: x^2 + x - 2 = 0. Решим квадратное уравнение: x^2 + 2x - x - 2 = 0, x(x + 2) - 1(x + 2) = 0, (x - 1)(x + 2) = 0. Получаем два значения x: x = 1 и x = -2.

2. y = x + 1 и x = 3: Подставим x = 3 в уравнение y = x + 1: y = 3 + 1 = 4.

Таким образом, получаем следующие точки пересечения: A(-2, 0), B(1, 2), C(3, 4).

Теперь давайте разобьем фигуру на две части: одну ограничивает кривая y = 2/x и линия y = 0, а другую - кривая y = x + 1 и линия x = 3.

Площадь первой части: ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx, где a = -2, b = 1, f(x) = 2/x, g(x) = 0.

∫[-2, 1] (2/x - 0) dx = ∫[-2, 1] (2/x) dx Интегрируем: ∫(2/x) dx = 2 ln |x| |[-2, 1] = 2 (ln|1| - ln|-2|) = 2 (0 - ln2) = -2 ln2.

Площадь второй части: ∫[c,d] (f(x) - g(x)) dx, где c = 1, d = 3, f(x) = x + 1, g(x) = 0.

∫[1, 3] (x + 1 - 0) dx = ∫[1, 3] (x + 1) dx Интегрируем: ∫(x + 1) dx = (x^2 / 2) + x |[1, 3] = (3^2 / 2 + 3) - (1^2 / 2 + 1) = 9/2 + 3 - 1/2 - 1 = 11/2.

Теперь сложим площади двух частей: Площадь = (-2 ln2) + (11/2) ≈ 1.306853.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2/x, y=x+1, y=0 и x=3, примерно равна 1.306853 единицам квадратным.