Question

Задача 4. Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и де- вятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямо-угольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеютодинаковый размер.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Очевидно то, что два квадрата равны если сторона одного квадрата равна стороне другого.

При данном разбиении квадрата образовались 10 горизонтальных и 10 вертикальных полос. Если два квадрата из девяти окажутся в одной из этих восемнадцати полос, то они будут равны, и утверждение доказано.

Предположим что никакие 2 из девяти квадратов не окажутся в одной и той же полосе. Тогда чтобы образовались девять квадратов необходимо соответственное равенство девяти вертикальных полос девяти горизонтальным. Пересечение этих полос-квадрат. Но в этом случае оставшаяся вертикальная полоса будет равна оставшейся горизонтальной. И значит их пересечение десятый квадрат, что противоречит условию задачи. Значит наше предположение не верно.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, воспользуемся принципом Дирихле (принципом ящиков). Принцип Дирихле утверждает, что если имеется n + 1 объектов, которые размещаются в n ящиках, то хотя бы в одном из ящиков будет более одного объекта.

В данной задаче у нас 9 квадратов, и каждый из них должен быть размещен в одном из 9 прямоугольников. Но у нас всего 9 прямоугольников, что меньше числа квадратов, а именно, их 9. Следовательно, по принципу Дирихле, хотя бы в одном из прямоугольников должно находиться более одного квадрата.

Таким образом, у нас есть два различных квадрата, размещенных в одном и том же прямоугольнике, и следовательно, они имеют одинаковый размер.