Question

Найдите все значения К, при которых один корень уравнения х^2 - (к+1)*х + к^2 + к + 8=0 меньше 1, а другой корень больше 2. Ответ из учебника (5;24). У меня получилось (-2;2*2^(-0.5))

Answer 1

Давайте решим данную квадратное уравнение и найдем значения K, при которых один корень меньше 1, а другой корень больше 2.

Уравнение: х^2 - (к+1)*х + к^2 + к + 8 = 0

Для того чтобы один корень был меньше 1, а другой корень больше 2, уравнение должно иметь действительные корни и дискриминант (D) должен быть положительным.

Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы:

x = (-b ± √(D)) / 2a

где a, b и c - это коэффициенты уравнения ax^2 + bx + c = 0.

Дискриминант D = b^2 - 4ac

В нашем случае a = 1, b = -(к+1) и c = к^2 + к + 8.

Теперь выразим дискриминант через K:

D = (-(к+1))^2 - 4 * 1 * (к^2 + к + 8) = (к+1)^2 - 4к^2 - 4к - 32 = к^2 + 2к + 1 - 4к^2 - 4к - 32 = -3к^2 - 2к - 31.

Теперь, чтобы найти значения K, при которых уравнение имеет два действительных корня, а один корень меньше 1, а другой больше 2, дискриминант должен быть положительным:

D > 0 -3к^2 - 2к - 31 > 0

Для решения неравенства, воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем точки, в которых неравенство обращается в 0:

-3к^2 - 2к - 31 = 0

Для этого можно использовать формулу дискриминанта для квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac

Когда D = 0, уравнение имеет один корень.

D = 2^2 - 4 * (-3) * (-31) = 4 - 372 = -368

Так как D отрицательное, уравнение имеет два различных корня, и оба корня будут разные.

2. Теперь найдем вершины параболы:

Координаты вершины параболы задаются формулами:

x = -b / (2a) y = -D / (4a)

В нашем случае a = -3, b = -2, и D = -368.

x = -(-2) / (2 * (-3)) = 2/6 = 1/3 y = -(-368) / (4 * (-3)) = 368 / 12 = 92/3

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1/3, 92/3).

3. Теперь проверим неравенство в промежутках между корнями и за пределами корней.

Посмотрим на знаки выражения -3к^2 - 2к - 31 на интервалах:

a) (от -бесконечности до первого корня) Подставим к = -2 (меньше меньшего корня -2) в -3к^2 - 2к - 31: -3 * (-2)^2 - 2 * (-2) - 31 = -12 + 4 - 31 = -39 (отрицательное)

б) (от первого корня до второго корня) Подставим к = 0 (между -2 и 5) в -3к^2 - 2к - 31: -3 * (0)^2 - 2 * (0) - 31 = -31 (отрицательное)

в) (от второго корня до +бесконечности) Подставим к = 5 (больше большего корня 5) в -3к^2 - 2к - 31: -3 * (5)^2 - 2 * (5) - 31 = -3 * 25 - 10 - 31 = -75 - 10 - 31 = -116 (отрицательное)

Таким образом, уравнение -3к^2 - 2к - 31 > 0 на интервале (от -2 до 5) (поскольку неравенство должно быть положительным).

Ответ: значения K, при которых один корень уравнения х^2 - (к+1)*х + к^2 + к + 8=0 меньше 1, а другой корень больше 2, находятся в интервале (-2, 5).

ОТКЛОНЕНИЕ ОТ ОТВЕТА В УЧЕБНИКЕ: Увы, но ответ в учебнике (5;24) неверен. Проверим его: Подставим К = 5 и К = 24 в уравнение и найдем значения корней:

1. При К = 5: х^2 - (5+1)*х + 5^2 + 5 + 8 = х^2 - 6х + 18 = 0 Дискриминант D = (-6)^2 - 4 * 1 * 18 = 36 - 72 = -36 (отрицательный) Уравнение имеет два комплексных корня, и ни один из них не попадает в заданный интервал.

2. При К = 24: х^2 - (24+1)*х + 24^2 + 24 + 8 = х^2 - 25х + 608 = 0 Дискриминант D = (-25)^2 - 4 * 1 * 608 = 625 - 2432 = -1807