Question

Помогите пожалуйста! Постройте график функции y=|x^2-16| И определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно 4 общие точки

Answer 1

Чёрная полоска это y=m это говорит о том, что с графиком m не будет иметь 4 общих точки, а может иметь только 2 общие точки

Answer 2

Конечно, я помогу!

Для начала, построим график функции y = |x^2 - 16|. Для этого давайте рассмотрим несколько ключевых точек и поведение функции в различных областях:

1. x = -4: y = |(-4)^2 - 16| = |16 - 16| = 0
2. x = -2: y = |(-2)^2 - 16| = |4 - 16| = 12
3. x = 0: y = |0^2 - 16| = |-16| = 16
4. x = 2: y = |2^2 - 16| = |4 - 16| = 12
5. x = 4: y = |4^2 - 16| = |16 - 16| = 0

Теперь давайте нарисуем график функции, соединив эти точки и учитывая, что функция симметрична относительно оси y.

luaCopy code
       |   +   12   +---------------------------------------------------------+
       |   |         |                                                         |
       |   |         |                                                         |
       |   |         |                                                         |
       |   |         |                                                         |
       |   |         |                                                         |
       |   8         |                                                         |
       |   |         |                                                         |
       |   |         |                                                         |
       |   |         |                                                         |
       |   |         |                                                         |
       |   +---------+                                                         |
       |           |                           *                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
       |           |                           |                               |
  -20  +-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+
       -6         -4          -2          0           2           4           6

Теперь нам нужно найти значения m, при которых прямая y = m пересекает график функции ровно 4 раза.

Прямая y = m будет пересекать график функции ровно 4 раза, если она проходит через "долину" и "пик" функции. То есть, прямая должна пересечь график дважды налево от вершины и дважды направо от вершины.

На графике мы видим, что между вершиной (0, 16) и точкой (-4, 0) на графике есть два пересечения. Аналогично, между вершиной (0, 16) и точкой (4, 0) на графике также есть два пересечения.

Таким образом, чтобы прямая y = m имела ровно 4 общие точки с графиком функции, значение m должно находиться в интервале (0, 16).

При этом, если m = 0, прямая будет касаться вершины графика, и у нас будет только 3 общие точки (2 слева и 1 справа от вершины).

Проверим это, уравняв выражение функции y = |x^2 - 16| с уравнением прямой y = m и решим уравнение:

|x^2 - 16| = m

1. Для m > 0: a) x^2 - 16 = m --> x^2 = m + 16 b) x^2 - 16 = -m --> x^2 = 16 - m

2. Для m = 0: a) x^2 - 16 = 0 --> x^2 = 16

Теперь мы знаем, что при m = 0 у нас есть только 3 общие точки, поэтому исключим этот случай.

Таким образом, у нас будет 4 общие точки, когда:

• m > 0, и
• m + 16 и 16 - m имеют решения вещественных чисел.

Это возможно, когда m < 16.

Итак, ответ: прямая y = m имеет с графиком ровно 4 общие точки, когда m находится в интервале (0, 16).