Question

Пожалуйста помогите найти интеграл (3-x)dx/sqrt(1+6x-7x²)

Answer 1

$\int \dfrac{3-x}{\sqrt{1+6x-7x^2}}\, dx=-\dfrac{1}{7}\int \dfrac{(3-x)}{\sqrt{(x-\frac{3}{7})^2-\frac{16}{49}}}\, dx=\Big[\; t=x-\frac{3}{7},\; dx=dt\; \Big]=\\\\\\=-\dfrac{1}{7}\int \dfrac{\frac{18}{7}-t}{\sqrt{t^2-\frac{16}{49}}}\, dt=-\dfrac{1}{7}\cdot \Big(\dfrac{18}{7}\cdot ln\Big|t+\sqrt{t^2-\frac{16}{49}}\, \Big|-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t^2-\frac{16}{49}}\Big)+C=$

$=-\frac{18}{49}\cdot ln\, \Big|\, x-\frac{3}{7}+\sqrt{x^2-\frac{6}{7}x-\frac{1}{7}}\, \Big|+\frac{1}{7}\cdot \sqrt{x^2-\frac{6}{7}x-\frac{1}{7}}+C$

Answer 2

Конечно, я помогу вам интегрировать данное выражение. Давайте начнем!

Интеграл ∫(3-x)dx/√(1+6x-7x²) может быть решен с помощью метода подстановки. Давайте попробуем подставить переменную, чтобы упростить интеграл.

1. Начнем с замены: пусть u = 1 + 6x - 7x². Тогда, du/dx = 6 - 14x.

2. Теперь давайте решим уравнение относительно dx: dx = du / (6 - 14x).

3. Теперь заменим переменные в исходном интеграле: ∫(3 - x) dx = ∫(3 - x) * (du / (6 - 14x)).

4. Раскроем скобки и упростим выражение: ∫(3 - x) * (du / (6 - 14x)) = ∫(3/6) * (du / (1 - 7x)) - ∫(x/6) * (du / (1 - 7x)).

5. Упростим коэффициенты перед du: (1/2) * ∫(du / (1 - 7x)) - (1/6) * ∫(x * du / (1 - 7x)).

6. Интегрируем каждый из интегралов отдельно: (1/2) * ln|1 - 7x| - (1/6) * ∫(x du / (1 - 7x)).

7. Теперь решим оставшийся интеграл ∫(x du / (1 - 7x)): это можно сделать методом частичной дробей.

8. Полученный интеграл будет иметь вид: (1/2) * ln|1 - 7x| - (1/6) * (1/7) * ln|1 - 7x| + C.

9. Упростим выражение: (1/2 - 1/42) * ln|1 - 7x| + C.

10. Итак, окончательный ответ: (20/42) * ln|1 - 7x| + C.

Где C - константа интегрирования.

Пожалуйста, обратите внимание, что данный ответ может быть подвержен дополнительной проверке и уточнению.