Question

Кто может решить?(И скинуть решение желательно на листочке) Найти общее решение уравнения: ydx+(1-y)xdy=0

Answer 1

ydx+(1-y)xdy=0 -уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные.

ydx=-(1-y)xdy

-dx/х=(1-y)dy/у

-∫dx/х=∫((1-y)/у)dy

-∫dx/х=∫((1/у)-1)dy

-㏑IxI=㏑IyI-y+㏑IcI;    c≠0

㏑е^y-㏑IyI=㏑IxI+㏑IcI;    c≠0

(е^y)/у=х*с; c≠0 - общее решение диф. уравнения.

Answer 2

Общее решение данного дифференциального уравнения можно найти следующим образом:

1. Разделим обе стороны уравнения на x * y: $\frac{ydx}{xy} + \frac{(1-y)dy}{xy} = 0$.

2. Преобразуем дроби в левой части уравнения: $\frac{d(\ln|y|)}{dx} - \frac{d(\ln|x-y|)}{dx} = 0$.

3. Интегрируем обе стороны уравнения по переменной $x$: $\ln|y| - \ln|x-y| = C$, где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

4. Используем свойства логарифмов для объединения логарифмов в один: $\ln\left|\frac{y}{x-y}\right| = C$.

5. Получаем уравнение в более компактной форме: $\frac{y}{x-y} = e^C$, $y = (x-y) e^C$.

6. Разрешаем уравнение относительно $y$: $y + ye^C = xe^C$, $y(1 + e^C) = xe^C$, $y = \frac{xe^C}{1 + e^C}$.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: $y = \frac{xe^C}{1 + e^C},$ где $C$ - произвольная постоянная.