Question

Доведіть, що рівняння має єдиний корінь, і знайдіть цей корінь. 2x^3-3x-5=0​

Answer 1

Ответ:

x1=5/2 x2=-1

Пошаговое объяснение:

2x^3-3x-5=0

D=√9-4*-5*2=√49=7

x1=3+7/4=5/2

x2=3-7/4=-1

Answer 2

Для доведення того, що рівняння має єдиний корінь, можна скористатися теоремою Больцано-Коші, яка стверджує, що якщо многочлен має неперервну похідну на певному відрізку і змінює знак на цьому відрізку, то між його коренями є хоча б один корінь.

Розглянемо многочлен 2x^3 - 3x - 5.

1. Доведемо, що многочлен має хоча б один корінь: Для цього перевіримо, чи змінює він знак на відрізку [-2, 2], оскільки нульова точка має лежати між коренями. Підставимо -2 і 2 у многочлен: Для x = -2: 2(-2)^3 - 3(-2) - 5 = 2(-8) + 6 - 5 = -16 + 1 = -15 (від'ємний) Для x = 2: 2(2)^3 - 3(2) - 5 = 2(8) + 6 - 5 = 16 + 1 = 17 (позитивний) Видно, що значення змінюють знак на відрізку [-2, 2], тому за теоремою Больцано-Коші, ми маємо хоча б один корінь.

2. Покажемо, що у рівняння є лише один корінь: Ми знаємо, що рівняння має хоча б один корінь, і многочлен є многочленом третього степеня, тому у нього не може бути більше трьох коренів (згідно основної теореми алгебри).

Таким чином, рівняння має єдиний корінь.

Щоб знайти цей корінь, можемо скористатися методом Ньютона (методом дотичних) або іншими числовими методами. Однак, це може бути дещо складним для ручного обчислення.

Використаємо чисельний метод, наприклад, метод ділення навпіл, для знаходження кореня:

1. Знайдемо початковий відрізок, на якому змінюється знак: Для x = -2: 2(-2)^3 - 3(-2) - 5 = -15 (від'ємний) Для x = -1: 2(-1)^3 - 3(-1) - 5 = -6 (від'ємний) Для x = 0: 2(0)^3 - 3(0) - 5 = -5 (від'ємний) Для x = 1: 2(1)^3 - 3(1) - 5 = -6 (від'ємний) Для x = 2: 2(2)^3 - 3(2) - 5 = 17 (позитивний)

   Значення змінюють знак на відрізку [-2, 2], тому ми можемо обрати цей відрізок як початковий.

2. Застосуємо метод ділення навпіл для знаходження кореня з точністю до, скажімо, трьох знаків після коми.

Початковий відрізок: [-2, 2]

• Перше наближення: x1 = (-2 + 2) / 2 = 0 f(x1) = 2(0)^3 - 3(0) - 5 = -5 (від'ємне)

• Друге наближення: x2 = (0 + 2) / 2 = 1 f(x2) = 2(1)^3 - 3(1) - 5 = -6 (від'ємне)

• Третє наближення: x3 = (1 + 2) / 2 = 1.5 f(x3) = 2(1.5)^3 - 3(1.5) - 5 = 1.375 (позитивне)

• Четверте наближення: x4 = (1 + 1.5) / 2 = 1.25 f(x4) = 2(1.25)^3 - 3(1.25) - 5 = -1.484375 (від'ємне)

• П'яте наближення: x5 = (1.25 + 1.5) / 2 = 1.375 f(x5) = 2(1.375)^3 - 3(1.375) - 5 = 0.33203125 (позитивне)

• Шосте наближення: x6 = (1.25 + 1.375) / 2 = 1.3125 f(x6) = 2(1.3125)^3 - 3(1.3125) - 5 = -0.57666015625 (від'ємне)

Продовжуємо поділ навп