Question

найдите наименьшее и наибольшее значение функции у=х ^5-х^3+х+2 на отрезке [-1;1](решите письменно пожалуйста) ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=x⁵-x³+x+2    [-1;1]

y'=5x⁴-3x²+1  z=x²   5z²-3z+1=0    D=9-20<0  корней нет.

y(-1)=-1+1-1+2=1

y(1)=1-1+1+2=3

наименьшее у=1   наибольшее y=3

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $y = x^5 - x^3 + x + 2$ на отрезке $[-1, 1]$, нужно проанализировать значения функции на краях отрезка и в её критических точках (то есть там, где производная равна нулю или не существует).

1. Края отрезка: Подставим $x = -1$ и $x = 1$ в функцию, чтобы найти значения на краях:

• При $x = -1$: $y = (-1)^5 - (-1)^3 - 1 + 2 = -1 + 1 - 1 + 2 = 1$
• При $x = 1$: $y = 1^5 - 1^3 + 1 + 2 = 1 - 1 + 1 + 2 = 3$

2. Критические точки: Найдем производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки: $y = x^5 - x^3 + x + 2$ $y' = 5x^4 - 3x^2 + 1$ $5x^4 - 3x^2 + 1 = 0$

Это уравнение четвёртой степени, и его решение может быть сложным. Для точного нахождения корней можно использовать численные методы или компьютерное программное обеспечение. Однако, для данной задачи давайте проанализируем общий характер графика функции.

Поскольку $5x^4$ имеет более высокую степень, чем остальные члены, он будет доминировать величиной. При достаточно больших положительных и отрицательных значениях $x$, этот член будет положительным, и он будет доминировать отрицательные значения $3x^2$ и положительное постоянное значение $1$. Это означает, что уравнение $5x^4 - 3x^2 + 1 = 0$ не будет иметь корней на отрезке $[-1, 1]$.

Таким образом, кроме краевых точек, у функции нет других критических точек на данном отрезке.

Итак, наименьшее значение функции $y = x^5 - x^3 + x + 2$ на отрезке $[-1, 1]$ равно 1 (достигается при $x = -1$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $x = 1$).