Question

Дайте ответ, пожалуйста 2cos^2 3x + sin3x - 1 = 0

Answer 1

Ответ:

Две серии решений

$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi*n}{3},\,\,n\in Z$

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3} ,\,\,k\in Z$

Пошаговое объяснение:

2cos²3x+sin3x-1=0

2(1-sin²3x)+sin3x-1=0

2-2sin²3x+sin3x-1=0

1-2sin²3x+sin3x=0

Переносим все в правую часть

2sin²3x-sin3x-1=0

Сделаем замену sin3x=t. Тогда получаем

2t²-t-1=0

D=1-4(-1)*2=1+4*2=1+8=9=3²

$t_{1,2}=\frac{1\pm3}{2*2}$

1) $t_1=\frac{1-3}{4}$       2) $t_2=\frac{1+3}{4}$

$t_1=\frac{-2}{4}$                 $t_2=\frac{4}{4}$

t₁=-0,5                       t₂=1

1) Решаем уравнение

sin 3х=-0,5

$3x=(-1)^n*\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\pi*n,\,n\in Z$

Делим обе части на 3, получаем

$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi*n}{3},\,\,n\in Z$

2) sin 3х=1

$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi*k,\,\,k\in Z$

Делим обе части на 3, получаем

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3} ,\,\,k\in Z$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить данное уравнение.

Уравнение: $2\cos^2(3x) + \sin(3x) - 1 = 0$

Давайте решим его поэтапно:

1. Заметим, что $2\cos^2(3x)$ можно записать как $2(1 - \sin^2(3x))$, используя тригонометрическую идентичность $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$.

2. Подставим это в уравнение: $2(1 - \sin^2(3x)) + \sin(3x) - 1 = 0$

3. Раскроем скобки: $2 - 2\sin^2(3x) + \sin(3x) - 1 = 0$

4. Упростим: $-2\sin^2(3x) + \sin(3x) + 1 = 0$

5. Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\sin(3x)$: $-2\sin^2(3x) + \sin(3x) + 1 = 0$

6. Решим это квадратное уравнение. Мы можем представить его в виде произведения двух линейных множителей, либо воспользоваться квадратным дискриминантом. Давайте воспользуемся дискриминантом.

   Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

   В данном случае, у нас есть $a = -2$, $b = 1$ и $c = 1$: $D = (1)^2 - 4(-2)(1) = 1 + 8 = 9$

7. Так как дискриминант положителен ($D > 0$), у нас есть два действительных корня для $\sin(3x)$. Давайте найдем корни:

   $\sin(3x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $\sin(3x) = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(-2)}$ $\sin(3x) = \frac{-1 \pm 3}{-4}$

8. Найдем два возможных значения $\sin(3x)$:

   • $\sin(3x) = \frac{1}{4}$
   • $\sin(3x) = -1$

9. Теперь нам нужно найти углы, для которых синусы равны этим значениям. Используем обратные тригонометрические функции:

   • $\sin(3x) = \frac{1}{4}$ соответствует $3x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$ или $3x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.
   • $\sin(3x) = -1$ соответствует $3x = \frac{3\pi}{2}$.

10. Теперь найдем $x$ из уравнения $3x$:

• $x = \frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$
• $x = \frac{1}{3}\left(\pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right)$
• $x = \frac{\pi}{2}$

Итак, решения уравнения $2\cos^2(3x) + \sin(3x) - 1 = 0$ для $x$ равны: $x = \frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{4}\right), \quad x = \frac{1}{3}\left(\pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right), \quad x = \frac{\pi}{2}$