Question

1. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1,2,4); В(2,0,1); С(0,2,0)

Answer 1

Ответ:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {0 - 1; -1 - (-2); 2 - 3} = {-1; 1; -1} - вектор

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {3 - 1; 4 - (-2); 5 - 3} = {2; 6; 2} - вектор

S = 1/2*|AB × AC| - площадь треугольника, половина длинны векторного произведения.

Answer 2

Для вычисления площади треугольника, заданного вершинами в трехмерном пространстве, можно использовать формулу Герона. Эта формула основана на длинах сторон треугольника. Сначала нужно вычислить длины всех трех сторон, а затем подставить их в формулу Герона:

1. Вычисление длин сторон:

   • Сторона AB: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ $AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

   • Сторона AC: $AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}$ $AC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17}$

   • Сторона BC: $BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}$ $BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9}$

2. Вычисление полупериметра треугольника: $s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{17} + \sqrt{9}}{2}$

3. Вычисление площади треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - AC) \cdot (s - BC)}$

   Подставим значения $s$, $AB$, $AC$ и $BC$ и вычислим $S$: $S = \sqrt{\frac{\sqrt{14} + \sqrt{17} + \sqrt{9}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{14} + \sqrt{17} + \sqrt{9}}{2} - \sqrt{14}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{14} + \sqrt{17} + \sqrt{9}}{2} - \sqrt{17}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{14} + \sqrt{17} + \sqrt{9}}{2} - \sqrt{9}\right)}$