Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ!Найти экстремумы функции у=х4 -4х3 -8х2 +1

Answer 1

Дана функция у=x^4 -4x^3 -8x^2 +1.

Её производная равна 4x^3 - 12x^2  - 16x.

Приравняем производную нулю:

4x^3 - 12x^2  - 16x = 4x(x^2 - 3x - 4) = 0.

Первый множитель даёт корень х = 0.

Далее: x^2 - 3x - 4 = 0.   Д = 9 + 16 = 25.   х1 = (3-5)/2 = -1,  х2 = (3 + 5)/2 = 4.

Находим знаки производной на промежутках.

х =      -2      -1       -0,5       0          2         4            5

y' =   -48      0        4,5    0      -48    0        120 .

Имеем экстремумы:

два минимума в точках х = -1 и х = 4 и один максимум в точке х = 0.

Значения функции в точках экстремумов:

х = -1, у  = -2.

х = 0,  у = 1,

х = 4, у = -127.

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти экстремумы функции $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1$.

Для нахождения экстремумов функции сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти точки, в которых производная меняет знак.

Шаг 1: Найдем производную функции $y$ по $x$: $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1$

$y' = \frac{d}{dx} (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1)$ $y' = 4x^3 - 12x^2 - 16x$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: $4x^3 - 12x^2 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель: $4x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Решим квадратное уравнение в скобках: $x^2 - 3x - 4 = 0$ $(x - 4)(x + 1) = 0$

Из этого получаем два корня: $x = 4$ и $x = -1$.

Шаг 3: Теперь определим характер экстремумов, используя вторую производную: $y'' = \frac{d^2}{dx^2} (4x^3 - 12x^2 - 16x)$ $y'' = 12x^2 - 24x - 16$

Подставим найденные значения $x$ (4 и -1) во вторую производную: Для $x = 4$: $y''(4) = 12(4)^2 - 24(4) - 16 = 192 - 96 - 16 = 80$ Получили положительное значение, следовательно, у функции есть минимум в точке $x = 4$.

Для $x = -1$: $y''(-1) = 12(-1)^2 - 24(-1) - 16 = 12 + 24 - 16 = 20$ Получили положительное значение, также указывающее на наличие минимума в точке $x = -1$.

Итак, функция $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1$ имеет два минимума: один в точке $x = 4$ и другой в точке $x = -1$. Значения функции в этих точках будут соответственно: $y(4) = 4^4 - 4(4)^3 - 8(4)^2 + 1 = 256 - 256 - 128 + 1 = -127$ $y(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 + 1 = 1 + 4 - 8 + 1 = -2$