Question

В ТРЕТИЙ РАЗ ПРОШУ!!!! ПРОСТО УМОЛЯЮ !!!! ПОСЛЕДНИЕ,БЛИН,БАЛЛЫ!!!Уважаемые добрые люди!!!!!!! Помогите,пожалуйста!!!! Даю 30 баллов!!! Тригонометрические уравнения! 1. cos2x=cosx 2. cos5x=cosx 3. √2cos(п/4−x)−1=0 4. √22−cos(3п/4+x)=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Всё подробно написала в решении.

Answer 2

Хорошо, я помогу вам решить данные тригонометрические уравнения. Давайте рассмотрим их по очереди:

1. cos(2x) = cos(x)

Для решения этого уравнения используем тригонометрическую тождества: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим это значение в уравнение: 2cos^2(x) - 1 = cos(x)

Теперь приведем уравнение к квадратному виду: 2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0

Давайте решим это квадратное уравнение. Поскольку это квадратное уравнение с переменным cos(x), давайте представим cos(x) как переменную, скажем t:

2t^2 - t - 1 = 0

Теперь решим уравнение для t, используя квадратное уравнение: t = (1 ± √(1 - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2) t = (1 ± √(1 + 8)) / 4 t = (1 ± √9) / 4 t = (1 ± 3) / 4

Таким образом, получаем два значения для t:

1. t = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1
2. t = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь вспомним, что t = cos(x). Таким образом:

1. cos(x) = 1
2. cos(x) = -1/2

Давайте найдем значения углов x, для которых выполняются данные равенства:

1. cos(x) = 1

Это равенство выполняется для угла x = 0 + 2πk, где k - целое число.

2. cos(x) = -1/2

Это равенство выполняется для углов x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk, где k - целое число.

2. cos(5x) = cos(x)

Для решения этого уравнения также используем тригонометрическую тождества: cos(5x) = 16cos^5(x) - 20cos^3(x) + 5cos(x)

Теперь приведем уравнение к кубическому виду: 16cos^5(x) - 20cos^3(x) + 5cos(x) - cos(x) = 0 16cos^5(x) - 20cos^3(x) + 4cos(x) = 0

Для упрощения решения, давайте заменим cos(x) на t:

16t^5 - 20t^3 + 4t = 0

Теперь выносим общий множитель t: t(16t^4 - 20t^2 + 4) = 0

Находим корни квадратного уравнения в скобках: t^2 = (20 ± √(20^2 - 4 * 16 * 4)) / (2 * 16) t^2 = (20 ± √(400 - 256)) / 32 t^2 = (20 ± √144) / 32 t^2 = (20 ± 12) / 32

1. t^2 = (20 + 12) / 32 = 32 / 32 = 1
2. t^2 = (20 - 12) / 32 = 8 / 32 = 1/4

Таким образом, получаем два значения для t:

1. t = √1 = 1
2. t = √(1/4) = 1/2

Теперь вспомним, что t = cos(x). Таким образом:

1. cos(x) = 1
2. cos(x) = 1/2

Давайте найдем значения углов x, для которых выполняются данные равенства:

1. cos(x) = 1

Это равенство выполняется для угла x = 0 + 2πk, где k - целое число.

2. cos(x) = 1/2

Это равенство выполняется для углов x = ±π/3 + 2πk и x = ±5π/3 + 2πk, где k - целое число.

3. √2cos(π/4−x) − 1 = 0

Давайте решим это уравнение:

√2cos(π/4−x) − 1 = 0

Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

√2cos(π/4−x) = 1

Теперь избавимся от корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

2cos(π/4−x) = 1

Теперь разделим обе стороны на 2:

cos(π/4−x) = 1/2

Теперь найдем значение угла (π/4−x), для которого выполняется данное равенство:

cos(π/4−x) = 1/2

Это равенство выполняется для углов (π/4−x) = π/3 + 2πk и (π/4−x) = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

Теперь найдем значения углов x:

1. (π/4−x) = π/3 + 2πk x = π/4 - π/3 + 2πk x = (3π - 4π)/12 + 2πk x = -π/12 + 2πk

2. (π/4−x) = 5π/3 + 2πk x = π/4