Question

Радіус кола 10 см. В коло вписано правильний трикутник і на його стороні побудовано квадрат. Знайти радіуси вписаного і описаного кіл навколо квадрата.

Answer 1

Задача: Радиус окружности 10 см. В окружность вписан правильный треугольник и на его стороне построен квадрат. Найти радиусы вписанной и описанной окружности вокруг квадрата.

Решение:

Найдем сторону треугольника (квадрата) через формулу радиуса описанной окружности правильного треугольника :

    $R=\frac{a\sqrt{3} }{3} \Rightarrow a = \frac{3R}{\sqrt{3} } = R\sqrt{3} \\a = 10\sqrt{3} \:\: (cm)$

Подставим значения в формулу описанной окружности квадрата:

    $R = \frac{a}{\sqrt{2} } \\R = \frac{10\sqrt{3} }{\sqrt{2} } = 5\sqrt{6} \:\: (cm)$

Подставим значения в формулу вписанной в квадрат окружности:

    $r = \frac{a}{2} \\r = \frac{10\sqrt{3} }{2} =5\sqrt{3}\:\: (cm)$

Ответ: Радиус вписанной окружности в квадрат равен 5√3 см, радиус описанной окружности квадрата равен 5√6 см.

Answer 2

Позначимо дані величини:

• Радіус кола: $R = 10 \, \text{см}$.
• Сторона квадрата: $a$.
• Сторона правильного трикутника: $b$.

Оскільки в коло вписаний правильний трикутник, можна використовувати його властивості. Наприклад, відомо, що відстань від центра кола до середини сторони правильного трикутника дорівнює $R$, тобто $R = \frac{b}{2}$. З цього можна знайти сторону трикутника $b = 2R$.

Позначимо половину сторони квадрата як $x$. Оскільки сторона квадрата і сторона трикутника спільна, $a = b$, а тому $a = 2R$.

Тепер, ми можемо знайти діагональ квадрата, використовуючи теорему Піфагора, бо діагональ є гіпотенузою прямокутного трикутника, а одна його сторона — половина сторони квадрата, а інша — відстань від центра кола до однієї з вершин квадрата (за властивістю правильного трикутника):

$x^2 + R^2 = a^2$

Підставимо вирази для $a$ та $R$:

$x^2 + (2R)^2 = (2R)^2$ $x^2 + 4R^2 = 4R^2$ $x^2 = 0$

Отже, $x = 0$. Це означає, що квадрат стає точкою.

В цьому контексті важливо зазначити, що довжина сторони квадрата не може бути додатним числом, що відповідає реальному фізичному значенню. Таким чином, у даній ситуації квадрат є дегенеративним і не може існувати, що призводить до неможливості знайти радіуси вписаного і описаного кола навколо квадрата.