Question

Является ли средняя линия трапеции описанной около окружности, диаметром этой окружности?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: Док-во от противного:  Пусть дана трапеция АВСД, где АВ-одна из боковых сторон, пусть МК-средняя линия трапеции, является диаметром,  М-середина АВ,  АМ=МА=х, М-точка касания окружности и боковой стороны, О-центр окружности, тогда ОМ =r. Рассмотрим ΔАОВ, он прямоугольный, т.к. ∠А+∠В=180°(сумма внутр односторон углов при параллельн основаниях, и центр окружностиО-точка пересечения биссектрис углов. ⇒∠ВАО+∠АВО=90° ⇒∠ВОА=90° Т.к.  М-точка касания, то ОМ⊥АВ . Из ΔАОВ ⇒ВМ/ОМ == ОМ/АМ , т.е. х/r=r/x ⇒r²=x²⇒ r=x⇒ ΔАОМ прямоуг и равнобедренный ⇒∠МАО=∠МВО=45°⇒∠А=∠В=90°,что невозможно, значит  средняя линия не может быть диаметром., чтд

Answer 2

Да, средняя линия трапеции, описанной вокруг окружности, равна диаметру этой окружности. Это свойство выполняется для любой трапеции, описанной около окружности.

Трапеция описывается около окружности, когда все четыре вершины трапеции лежат на окружности. В таком случае, две противоположные стороны трапеции становятся диаметрами окружности. Средняя линия трапеции проходит по середине между основаниями и является отрезком, перпендикулярным боковым сторонам.

Таким образом, средняя линия трапеции, описанной вокруг окружности, будет равна диаметру этой окружности.