Question

Найти х при которых f'(x) >0f(x) =(x+2)^2×√xПомогите,если не сложно) ​

Answer 1

Ответ:

$x \in [0;+\infty)$

Пошаговое объяснение:

$f(x)=(x+2)^2\cdot \sqrt{x}\\f'(x)=2(x+2)\cdot \sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x+2)^2=\frac{4x(x+2)+(x+2)^2}{2\sqrt{x}}$

ОДЗ: $x \geq0$

$4x(x+2)+(x+2)^2=(x+2)(4x+x+2)=(x+2)(5x+2) >0$

Видно, что $f'(x)>0$ для любого $x>0$

Другой способ:

Функция $f(x)=(x+2)^2\cdot \sqrt{x}$ является произведением двух возрастающих функций на промежутке $[0;+\infty)$ (промежуток появляется из-за ОДЗ на функцию $\sqrt{x}$). Отсюда следует, что и сама функция является возрастающей, т.е. $f'(x)>0$ на промежутке $[0;+\infty)$ .

Answer 2

Конечно, помогу! Давайте найдем производную функции f(x) и определим интервалы, на которых она положительна.

Итак, дана функция: $f(x) = (x + 2)^2 \cdot \sqrt{x}$

Для начала найдем производную f'(x) используя правило производной произведения и цепного правила для функции $\sqrt{x}$:

$f'(x) = 2(x + 2) \cdot \sqrt{x} + \frac{1}{2}(x + 2)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$

Упростим это выражение:

$f'(x) = 2(x + 2) \cdot \sqrt{x} + \frac{x + 2}{2\sqrt{x}} \cdot (x + 2)^2$

Теперь нам нужно найти точки, где производная $f'(x)$ больше нуля. Для этого рассмотрим числитель и знаменатель второго слагаемого:

Числитель: $2(x + 2) \cdot \sqrt{x}$ - этот член всегда положителен или равен нулю.

Знаменатель: $\frac{x + 2}{2\sqrt{x}}$ - этот член будет положителен, так как как $x$ находится в знаменателе корня $\sqrt{x}$, и $x + 2$ положительное значение.

Следовательно, второе слагаемое всегда положительно.

Таким образом, производная $f'(x)$ всегда положительна для всех значений $x$, кроме случая, когда знаменатель обращается в ноль ($x = 0$), но на интервале $x \geq 0$, где определена функция $\sqrt{x}$, производная всегда положительна.

Итак, $f'(x) > 0$ для $x > 0$.