Question

1.Циліндр і конус мають спільну основу і спільну висоту. Знайдіть об'єм конуса, якзо об'єм циліндра дорівнює 120. 2.Через середину конуса паралельно площині його основи проведено переріз який є оснновою меншого конуса з тією самою вершино. Знайдіть об'єм меншого конуса, якщо об'єм заданого конуса дорівнює 96

Answer 1

1.

Формула об'єму циліндра:

    $V_{cylinder} = \pi r^2 h$

Формула об'єму конуса:

    $V_{cone} = \frac{\pi r^2 h}{3}$

Так як висота і радіус основи у них рівні, можемо зробити висновок, що об'єм конуса у 3 разу менший за об'єм циліндра.

    $V_{cone} = \frac{1}{3} V_{cylinder}\\\\V_{cone} =\frac{1}{3} \cdot 120 = 40$

Відповідь: Об'єм конуса рівний 40 кубічним одиницям.

2.

Так як переріз паралельний основі, ми отримали 2 подібні конуси (дві пропорційні твірні і кут між ними). Так як твірні більшого конуса діляться навпіл, тоді коефіцієнт подібності між меншим і більшим конусами рівний k= 1/2.

Відношення об'ємів двох подібних тіл дорівнює кубу коефіцієнта подібності.

    $\frac{V_m}{V_b}= k^3\\\\\frac{V_m}{V_b}= \left(\frac{1}{2}\right )^3\\\frac{V_m}{V_b}= \frac{1}{8} \:\: \Rightarrow \:\: V_m= \frac{V_b}{8} \\\\V_m= \frac{96}{8} = 12$

Відповідь: Об'єм меншого конуса рівний 12 кубічним одиницям.

Answer 2

1. Об'єм циліндра обчислюється за формулою: V_циліндра = π * r^2 * h, де r - радіус основи циліндра, h - висота циліндра.

За умовою маємо: V_циліндра = 120.

Об'єм конуса обчислюється за формулою: V_конуса = (1/3) * π * r^2 * h.

Ми знаємо, що циліндр і конус мають спільну основу і висоту, тому радіус основи і висота для циліндра і конуса будуть однакові.

Звідси отримуємо:

V_конуса = (1/3) * V_циліндра = (1/3) * 120 = 40.

Отже, об'єм меншого конуса дорівнює 40.

2. Об'єм великого конуса вже заданий: V_великого_конуса = 96.

Об'єм конуса обчислюється за формулою: V_конуса = (1/3) * π * r^2 * h.

За умовою маємо, що об'єм меншого конуса відноситься до об'єму великого конуса як (1/2)^3 (оскільки об'єм пропорційний кубу відношення лінійних розмірів):

(Об'єм меншого конуса) / (Об'єм великого конуса) = (1/2)^3 = 1/8.

Підставимо значення об'ємів і розкриваємо куб:

V_меншого_конуса / 96 = 1/8, V_меншого_конуса = 96 * (1/8), V_меншого_конуса = 12.

Отже, об'єм меншого конуса дорівнює 12.