Question

Ctga/tga+1=1/sin²a доказать тождество

Answer 1

$\frac{ctg \left(a\right)}{tg \left(a\right)}+1=\frac{1}{\sin ^2\left(a\right)}\\\\1+\frac{\frac{\cos \left(a\right)}{\sin \left(a\right)}}{\frac{\sin \left(a\right)}{\cos \left(a\right)}}=\frac{1}{\sin ^2\left(a\right)}\\\\\frac{\cos ^2\left(a\right)+\sin ^2\left(a\right)}{\sin ^2\left(a\right)}=\frac{1}{\sin ^2\left(a\right)}\\\\\frac{1}{\sin ^2\left(a\right)}=\frac{1}{\sin ^2\left(a\right)}$

тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества применим алгебраические преобразования:

1. Начнем с левой стороны тождества: ctga/tga + 1.

2. Преобразуем тангенс и котангенс в функции синуса и косинуса:

   ctga = 1/tga = cos(a)/sin(a).

3. Подставим это значение в выражение:

   (cos(a)/sin(a)) / tga + 1.

4. Преобразуем косинус, синус и тангенс в функции синуса:

   (cos(a)/sin(a)) / (sin(a)/cos(a)) + 1.

5. Сокращаем синусы и косинусы:

   (cos(a) * cos(a)) / (sin(a) * sin(a)) + 1.

6. По определению квадрата синуса и косинуса:

   cos²(a) / sin²(a) + 1.

7. Общий знаменатель:

   (cos²(a) + sin²(a)) / sin²(a).

8. По основному тригонометрическому тождеству: cos²(a) + sin²(a) = 1.

   1 / sin²(a).

Таким образом, левая сторона (ctga/tga + 1) равна правой стороне (1/sin²(a)). Тождество доказано.