Question

Какие свойства числовых неравенств ты знаешь?​

Answer 1

Ответ:

На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств. Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):

число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;

число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;

число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.

Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:

число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;

число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.

Основные свойства

Свойство антирефлексивности, выражающееся в том, что для любого числа a неравенства a<a и a>a – неверные.

Действительно, известно, что для любого числа a выполняется равенство a−a=0, откуда в силу разностного определения равных чисел следует равенство a=a. Следовательно, a<a и a>a – неверные неравенства.

Например, 3<3 и  - неверные неравенства.

если a>b, то b<a.

Обоснуем его, обратившись к данному выше определению отношений «больше» и «меньше». Начнем с первой части. Так как a<b, то a−b – отрицательное число. При этом b−a=−(a−b) – положительное число, как число, противоположное отрицательному числу a−b. Следовательно, b>a. Аналогично доказывается и вторая часть рассматриваемого свойства.

Свойство транзитивности: если числа a, b и c таковы, что a<b и b<c, то a<c, и если a>b и b>c, то a>c.

Докажем его первое утверждение. Условия a<b и b<c означают, что a−b и b−c – отрицательные числа. Разность a−c можно представить как (a−b)+(b−c), а это есть отрицательное число как сумма двух отрицательных чисел a−b и b−c, что следует из правила сложения отрицательных чисел. Таким образом, a−c – отрицательное число, откуда следует, что a<c, что и требовалось доказать. Абсолютно аналогично доказывается и вторая часть свойства транзитивности.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Я знаю множество свойств числовых неравенств. Вот некоторые из них:

1. Транзитивность: Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$.
2. Сложение и вычитание: Если $a < b$, то $a + c < b + c$, и если $a < b$, то $a - c < b - c$ для положительных $c$.
3. Умножение и деление: Если $a < b$ и $c$ положительное число, то $ac < bc$, и если $a < b$ и $c$ отрицательное число, то $ac > bc$. Также, если $a < b$ и $c$ положительное число, то $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$, и если $a < b$ и $c$ отрицательное число, то $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
4. Умножение на отрицательное число: Если $a < b$ и $c$ отрицательное число, то $ac > bc$.
5. Сравнение с нулем: Если $a < 0$ и $b > 0$, то $a \cdot b < 0$.
6. Квадраты чисел: Если $a < b$ и оба числа положительные, то $a^2 < b^2$.
7. Модуль числа: $|a| < b$ эквивалентно $-b < a < b$.
8. Обратные числа: Если $a < b$ и оба числа положительные, то $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$.

Это лишь несколько основных свойств. Если у вас есть конкретные вопросы или неравенства, с которыми вы хотели бы помощи, пожалуйста, уточните, и я с удовольствием помогу.