Question

Помогите решить y'''-4y''+4y'=(x-1)e^x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, дополненное неоднородной частью. Давайте разберемся с решением.

1. Начнем с решения однородного уравнения: y''' - 4y'' + 4y' = 0

   Характеристическое уравнение: r^3 - 4r^2 + 4r = r(r^2 - 4r + 4) = r(r - 2)^2 = 0

   У нас есть корень r1 = 0 (кратности 1) и r2 = 2 (кратности 2). Следовательно, общее решение однородной части будет: y_h(x) = C1 + C2 * e^(2x) + C3 * x * e^(2x)

2. Теперь найдем частное решение неоднородной части уравнения: y_p(x) = (Ax + B) * e^x

   Дифференцируем y_p(x): y_p'(x) = Ae^x + (Ax + B)e^x y_p''(x) = 2Ae^x + (Ax + B)e^x y_p'''(x) = 3Ae^x + (Ax + B)e^x

   Подставляем это в исходное уравнение: (3Ae^x + (Ax + B)e^x) - 4(2Ae^x + (Ax + B)e^x) + 4(Ae^x + (Ax + B)e^x) = (x - 1)e^x

   Упрощаем выражение и сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях e^x: (3A - 8A + 4A) + (A - 4A + 4A)x + (B - 4B + 4B) = x - 1 -A + Ax = x - 1 A = 1

   Таким образом, A = 1.

   Подставляем A обратно в выражение для y_p(x): y_p(x) = (x + B) * e^x

3. Теперь общее решение всего уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1 + C2 * e^(2x) + C3 * x * e^(2x) + (x + B) * e^x

Это общее решение данного дифференциального уравнения. Вы можете определить значения констант C1, C2, C3 и B, используя начальные или граничные условия, если они имеются.