Question

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Среднее число равно 4,2, а первое число — в 5 раз больше, чем третье. Вычисли первое и третье число. Дополнительный вопрос: какую из формул можно использовать в решении задачи? Sn=(a1+an)n2 an=an−1+an+12 an=a1−(n+1)d an=an−1⋅an+1

Answer 1

первое чисто — 5x

второе число — 4,2

третье число — x

Сумма трех первых членов арифметической прогрессии:

    $Sn = \frac{a_1+a_n}{2}n \\Sn = \frac{5x+x}{2}\cdot 3 = \frac{6x\cdot 3}{2} = \frac{18x}{2} =9x$

Составим и решим уравнение:

    $5x+4,2+x = 9x\\3x = 4,2\\x = 1,4$

Третье число — x = 1,4

первое число — 5x = 5·1,4 = 7

Ответ: первое число равно 7, третье число равно 1,4; в решении задачи было использована формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$.

Answer 2

Давайте обозначим первое число как $a_1$, второе число как $a_2$, а третье число как $a_3$. Также, давайте обозначим разность арифметической прогрессии как $d$.

Известно, что среднее число $a_2$ равно 4.2:

$a_2 = 4.2.$

Также известно, что первое число $a_1$ в 5 раз больше, чем третье число $a_3$:

$a_1 = 5a_3.$

Исходя из определения арифметической прогрессии, можем записать:

$a_2 = a_1 + d$ $a_2 = a_3 + 2d$

Так как $a_2 = 4.2$, то

$4.2 = 5a_3 + d.$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{align*} 4.2 &= 5a_3 + d \\ 4.2 &= a_3 + 2d \end{align*}$$

Выразим $d$ из второго уравнения:

$d = 4.2 - a_3.$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4.2 = 5a_3 + (4.2 - a_3).$

Раскроем скобку:

$4.2 = 5a_3 + 4.2 - a_3.$

Упростим:

$0 = 4a_3.$

Отсюда следует, что $a_3 = 0$.

Теперь мы можем найти $d$:

$d = 4.2 - a_3 = 4.2.$

И, наконец, найдем $a_1$:

$a_1 = 5a_3 = 5 \cdot 0 = 0.$

Таким образом, первое число $a_1 = 0$, третье число $a_3 = 0$, а разность $d = 4.2$.

Что касается дополнительного вопроса о формулах, в данной задаче вы могли бы использовать формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d.$

Исходя из этой формулы, вы могли бы записать $a_2$ и $a_3$ в терминах $a_1$ и $d$, а затем использовать данные о $a_2$ и $a_3$ для решения системы уравнений.