Question

Найдите общее решение дифференциального уровнения xy"+y'+x=0

Answer 1

$xy''+y'+x=0\\ xy''+y'=-x\\ (xy')'_x=-x=>xy'=\int (-x)dx=>xy'=-\dfrac{x^2}{2}+C_1\\ y'=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}\\ y=\int(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x})dx\\ y=-\dfrac{x^2}{4}+C_1lnx+C_2$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Для его решения воспользуемся методом Лиувилля-Остроградского.

Обозначим y' как dy/dx, а y'' как d²y/dx². Подставим y = x^m в уравнение:

x*(m*(m-1)x^(m-2)) + (mx^(m-1)) + x^m = 0

Упростим:

m*(m-1)x^m + mx^m + x^m = 0 m*(m-1) + m + 1 = 0 m^2 - m + m + 1 = 0 m^2 + 1 = 0

У этого характеристического уравнения нет действительных корней, только комплексные:

m = ±i

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = C₁cos(x) + C₂sin(x)

где C₁ и C₂ - произвольные константы, определяемые начальными условиями, если они заданы.