Question

Y'' - 2y' - 8y = - 8x^2 + 4x + 7 Помогите пожалуйста

Answer 1

скачяй приложение для ришения задач чтоб не ждать ответа

Answer 2

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы решить его, мы можем использовать метод вариации постоянной. Для начала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Y'' - 2Y' - 8Y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 - 2r - 8 = 0

Факторизуем его:

(r - 4)(r + 2) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: r1 = 4 и r2 = -2.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Yh(x) = c1e^(4x) + c2e^(-2x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянной. Предположим, что частное решение имеет вид:

Yp(x) = Ax^2 + Bx + C,

где A, B и C - коэффициенты, которые нужно найти.

Подставим Yp(x) в исходное уравнение:

Y''p(x) - 2Y'p(x) - 8Yp(x) = -8x^2 + 4x + 7.

Вычислим производные:

Y''p(x) = 2A, Y'p(x) = 2Ax + B.

Подставим их в уравнение:

2A - 4(2Ax + B) - 8(Ax^2 + Bx + C) = -8x^2 + 4x + 7.

Упростим:

-8Ax^2 + (8A - 8B)x - 8B - 8C = -8x^2 + 4x + 7.

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

-8A = -8, (1) 8A - 8B = 4, (2) -8B - 8C = 7. (3)

Из уравнения (1) получаем: A = 1.

Подставим A = 1 в уравнение (2):

8 - 8B = 4.

Отсюда получаем: B = 1.

Подставим A = 1 и B = 1 в уравнение (3):

-8 - 8C = 7.

Отсюда получаем: C = -15/8.

Таким образом, частное решение имеет вид:

Yp(x) = x^2 + x - 15/8.

Окончательное решение неоднородного уравнения:

Y(x) = Yh(x) + Yp(x) = c1e^(4x) + c2e^(-2x) + x^2 + x - 15/8,

где c1 и c2 - произвольные постоянные.