Question

Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится ровно 5 раз.

Answer 1

1. Ответ:

Сложное событие B = {событие А появится в 8 независимых испытаниях хотя бы 2 раза, то есть не менее двух раз}.

Сложное событие C = {событие А появится в 8 независимых испытаниях менее двух раз}.

Событие C состоит из двух несовместных событий:

Событие C0 = {событие А появится в 8 независимых испытаниях ровно 0 раз, то есть не появится ни разу}.

Событие C1 = {событие А появится в 8 независимых испытаниях ровно 1 раз}.

В каждом из 8 испытаний вероятность того, что он появится событие A , равна p=0,1.

Следовательно, также в каждом из 8 испытаний вероятность того, что событие A не появится, равна

q=1−p=1−0,1=0,9.

Вероятность события C0 по формуле Бернулли равна

P(C0)=P8(0)=C08p0q8=8!0!8!⋅(0,1)0⋅(0,9)8=0,430467.

Вероятность события C1 по формуле Бернулли равна

P(C1)=P8(1)=C18p4q1=8!1!7!⋅(0,1)1⋅(0,9)7=0,382638.

События B и C противоположны. Следовательно, искомая вероятность равна

P(B)=1−P(C)=1−[P(C0)+P(C1)]==1−0,430467−0,382638≈0,19.

Ответ. P=1—[P8(0)+P8(1)]=0,19.

Пошаговое объяснение:

Сложное событие B = {событие А появится в 8 независимых испытаниях хотя бы 2 раза, то есть не менее двух раз}.

Сложное событие C = {событие А появится в 8 независимых испытаниях менее двух раз}.

Событие C состоит из двух несовместных событий:

Событие C0 = {событие А появится в 8 независимых испытаниях ровно 0 раз, то есть не появится ни разу}.

Событие C1 = {событие А появится в 8 независимых испытаниях ровно 1 раз}.

В каждом из 8 испытаний вероятность того, что он появится событие A , равна p=0,1.

Следовательно, также в каждом из 8 испытаний вероятность того, что событие A не появится, равна

q=1−p=1−0,1=0,9.

Вероятность события C0 по формуле Бернулли равна

P(C0)=P8(0)=C08p0q8=8!0!8!⋅(0,1)0⋅(0,9)8=0,430467.

Вероятность события C1 по формуле Бернулли равна

P(C1)=P8(1)=C18p4q1=8!1!7!⋅(0,1)1⋅(0,9)7=0,382638.

События B и C противоположны. Следовательно, искомая вероятность равна

P(B)=1−P(C)=1−[P(C0)+P(C1)]==1−0,430467−0,382638≈0,19.

Ответ. P=1—[P8(0)+P8(1)]=0,19.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть независимые испытания с фиксированной вероятностью успеха (появления события А) в каждом испытании.

Биномиальное распределение задается формулой:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$

где:

• $n$ - количество испытаний (в данном случае 8)
• $k$ - количество раз, которое событие А должно произойти (в данном случае 5)
• $p$ - вероятность появления события А в одном испытании (в данном случае 0,1)
• $\binom{n}{k}$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n - k)!}$

Подставляя значения, получим:

$P(X = 5) = \binom{8}{5} \cdot 0,1^5 \cdot (1 - 0,1)^{8 - 5}$

Вычислим каждую часть:

$\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8 - 5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Теперь подставим все значения в формулу:

$P(X = 5) = 56 \cdot 0,1^5 \cdot 0,9^3 \approx 0,0573951$

Итак, вероятность того, что событие А произойдет ровно 5 раз из 8 независимых испытаний, составляет примерно 0,0574 или около 5,74%.