Question

Нужно решение Интеграл от 0 до π (1-cosx)^2

Answer 1

$\int\limits^\pi_0 {(1-cosx)^2} \, dx = \int\limits^\pi_0 {cos^2x - 2cosx + 1} \, dx = \int\limits^\pi_0 {cos^2x} \, dx - 2sinx + x = \frac{1}{2} \int\limits^\pi_0 {1+cos2x} \, dx - 2sinx + x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}sin2x + 2sinx + x = \frac{3}{2}x + 2sinx + \frac{1}{4}sin2x = \frac{3}{2}\pi + 2sin\pi + \frac{1}{4}sin2\pi - \frac{3}{2}*0 - 2sin0 - \frac{1}{4}sin(2*0) = \frac{3}{2}\pi$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данный интеграл. Давайте посмотрим, как можно решить интеграл:

Интеграл: ∫(0 to π) (1 - cos(x))^2 dx

Для начала, давайте раскроем квадрат внутри скобок:

(1 - cos(x))^2 = 1 - 2cos(x) + cos^2(x)

Теперь интеграл становится:

∫(0 to π) (1 - 2cos(x) + cos^2(x)) dx

Распишем этот интеграл на три отдельных интеграла:

∫(0 to π) 1 dx - ∫(0 to π) 2cos(x) dx + ∫(0 to π) cos^2(x) dx

Первый интеграл просто даст длину интервала:

π - 0 = π

Второй интеграл интегрируется по частям (производная от синуса даст вам -cos(x)):

-2 * ∫(0 to π) cos(x) dx = -2 * [sin(x)](0 to π) = -2 * (sin(π) - sin(0)) = -2 * (0 - 0) = 0

Третий интеграл можно решить с использованием формулы понижения степени для тригонометрических функций:

∫(0 to π) cos^2(x) dx = ∫(0 to π) (1 + cos(2x)) / 2 dx

Теперь раскроем интеграл:

(1/2) * ∫(0 to π) dx + (1/2) * ∫(0 to π) cos(2x) dx

Первый интеграл опять даст нам π/2, а второй интеграл будет равен нулю, так как cos(2x) имеет период π, и интеграл от него на интервале π будет равен 0.

Таким образом, интеграл ∫(0 to π) (1 - cos(x))^2 dx равен:

π + 0 + π/2 = 3π/2

Итак, ответ: 3π/2.