Question

1) 4cos^2x-8cosx+3=0 2) 2tg^2x+3tgx-2=0 Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

1)

$4\cos^2x-8\cos x+3=0\\t=\cos x\\4t^2-8t+3=0\\(4t^2-8t+4)-1=0\\(2t-2)^2-1=0\\(2t-3)(2t-1)=0\\\left[\begin{array}{c}t=\dfrac{1}2\\t=\dfrac{3}2\end{array}\right;$

Корень 3/2 - посторонний.

$\cos x=\dfrac{1}2\\\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}3+2n\pi,\; n\in \mathbb{Z}\\x=-\dfrac{\pi}3+2n\pi,\; n\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

2)

$2\mathrm{tg}+3\mathrm{tg}x-2=0\\x\ne\dfrac{\pi}2+2n\pi,\;n\in\mathbb{Z}\\t=\mathrm{tg}x\\2t^2+3t-2=0\\2t^2+4t-t-2=0\\2t(t+2)-(t+2)=0\\(t+2)(2t-1)=0\\\left[\begin{array}{c}t=-2\\t=\dfrac{1}2\end{array}\right;$

$\mathrm{tg}x=\dfrac{1}2\\x=\mathrm{arctg}\dfrac{1}2+n\pi,\;n\in\mathbb{Z}\\\mathrm{tg}x=-2\\x=-\mathrm{arctg}2+n\pi,\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти квадратные уравнения. Давайте рассмотрим их по очереди.

Уравнение 1: $4\cos^2x - 8\cos x + 3 = 0$

Давайте представим $\cos x$ как переменную $t$: $4t^2 - 8t + 3 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации: $4t^2 - 6t - 2t + 3 = 0$ $2t(2t - 3) - 1(2t - 3) = 0$ $(2t - 1)(2t - 3) = 0$

Теперь найдем значения $t$: $2t - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{2}$ $2t - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{2}$

Помните, что мы представили $\cos x$ как $t$. Теперь нужно вернуться к $x$: $\cos x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{3}{2}$

Однако $\cos x$ не может быть больше 1 по модулю, поэтому решения второго уравнения не существует.

Уравнение 2: $2\tan^2x + 3\tan x - 2 = 0$

Давайте представим $\tan x$ как переменную $t$: $2t^2 + 3t - 2 = 0$

Это уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного уравнения: $(2t - 1)(t + 2) = 0$

Таким образом, получаем два значения $t$: $2t - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{2}$ $t + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -2$

Вернемся к $\tan x$: $\tan x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \tan x = -2$

Теперь найдем углы $x$, соответствующие этим значениям тангенса, с учетом периодичности тангенса. Вам, возможно, понадобится использовать тригонометрические таблицы или калькулятор.

Пожалуйста, убедитесь, что вы правильно интерпретируете и используете значения тригонометрических функций в диапазоне углов от 0 до $2\pi$ или 0 до 360 градусов (в зависимости от того, в каких единицах измерения углов вы работаете).