Question

На доске нарисован график функции y=x2+ax+b. Юля нарисовала на том же чертеже две прямые, параллельные оси Ox. Первая прямая пересекает график в точках A и B, а вторая — в точках C и D. Найдите расстояние между прямыми, если известно, что AB=3, CD=13.

Answer 1

Решение:

Пусть исследуемая в задаче прямая, параллельная Оx, пересекает график функции $y = x^2 + ax + b$ в точке $A$ при $x=x_1$. Тогда она проходит через точку $B$ при $x=x_1 + 3$ (так как $AB=3$). При этом значения функции в этих двух точках должны совпадать.

То есть:

                 $y(x_1) = y(x_1+3) \\\\ x_1^2 + ax_1 + b = (x_1+3)^2 + a(x_1+3) + b \\\\ x_1^2 + ax_1 = x_1^2 + 6x + 9 + ax_1 + 3a \\\\ 6x_1 + 9 + 3a = 0 \\\\ 2x_1 + a = -3$

Аналогично для прямой $CD$:

                  $f(x_2) = f(x_2 + 13) \\\\ x_2^2 + ax_2 + b = (x_2+13)^2 + a(x_2+13) + b \\\\ x_2^2 + ax_2 = x_2^2 + 26x + 169 + ax_2 + 13a \\\\ 26x_2 + 169 + 13a = 0 \\\\ 2x_2 + a = -13$

Получается, что:

                   $(2x_1 + a) - (2x_2 + a) = -3 - (-13) \\\\2x_1 - 2x_2 = 10 \\\\x_1 = 5 + x_2$

• Этот же результат можно было получить, используя то, что парабола симметрична. Но в нашем способе решения мы на эти формулы время потратили не совсем зря.

А что нам надо определить? Расстояние между прямыми.

Но это тоже самое, что и $y(x_2) - y(x_1)$:

                 $y(x_2) - y(x_1) = (x_2^2+ax_2 + b) - (x_1^2+ax_1 + b) = \\\\ = x_2^2+ax_2 -x_1^2 - ax_1 = \\\\= x_2^2 + ax_2 - (x_2 + 5)^2 - a(x_2 + 5) = \\\\ = x_2^2 + ax^2 - x_2^2 - 10x_2 - 25 - ax_2 - 5 = \\\\ = - 10x_2 - 25 - 5a = \\\\ = 5 \cdot (-2x_2 - 5 - a)$

Вот здесь нам как-раз понадобится то, что $2x_2 + a = -13$.

                 $y(x_2) - y(x_1) = 5 \cdot (-2x_2 - 5 - a) = 5 \cdot (13 - 5) = 40$

Это и есть ответ!

Задача решена!

Ответ: 40.

Answer 2

Расстояние между параллельными прямыми можно найти, используя свойство параллельных прямых, которое гласит, что расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию между любой точкой на одной из прямых и ближайшей точкой на другой прямой.

В данном случае, у нас есть график функции y = x^2 + ax + b, и две параллельные прямые, проходящие через точки A, B и C, D соответственно. Пусть точка A имеет координаты (x_a, y_a) и точка C имеет координаты (x_c, y_c).

Так как точка A находится на графике функции y = x^2 + ax + b, то её координаты удовлетворяют этому уравнению: y_a = x_a^2 + ax_a + b

Аналогично, точка C находится на графике функции y = x^2 + ax + b: y_c = x_c^2 + ax_c + b

Теперь, расстояние между точками A и C можно выразить как: d = √((x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2)

Учитывая, что прямые параллельны, координата y на одной прямой будет равна координате y на другой прямой (параллельной), т.е. y_a = y_c. Это дает нам следующее уравнение: x_a^2 + ax_a + b = x_c^2 + ax_c + b

Отсюда видно, что x_a^2 = x_c^2, так как все остальные члены уравнения сокращаются. Это означает, что x_a = x_c.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию между любой точкой на одной прямой и ближайшей точкой на другой прямой, что в данном случае равно расстоянию между точками A и C (или точками B и D, так как они также находятся на параллельных прямых).

Известно, что AB = 3 и CD = 13. Так как точки A и C имеют одинаковую координату x, то разница между y-координатами этих точек будет равна расстоянию между параллельными прямыми:

Расстояние = |y_a - y_c| = |x_a^2 + ax_a + b - x_c^2 - ax_c - b| = |x_a^2 - x_c^2 + ax_a - ax_c|

Так как x_a^2 = x_c^2, разница квадратов сокращается:

Расстояние = |ax_a - ax_c| = |a(x_a - x_c)|

Теперь подставляем известные значения AB = 3 и CD = 13:

|a(x_a - x_c)| = 3 (или 13)

Так как x_a = x_c (из вышеуказанных рассуждений), то у нас остается:

|a(0)| = 3 (или 13)

Это означает, что a = 3 (или a = 13). Таким образом, расстояние между параллельными прямыми равно |a|, что равно либо 3, либо 13, в зависимости от значения коэффициента a.